La extraordinaria propiedad llamada asociatividad del baricentro es, sobre todo, la que convierte este concepto en una herramienta privilegiada para demostrar la alineación de puntos y la concurrencia de rectas. Aquí hablaremos del baricentro de un sistema de n puntos ponderados {A1(a1), A2(a2)… A*n(an*)}. La propiedad en cuestión adopta una forma sencilla: el baricentro de un sistema de puntos ponderados no cambia si se sustituyen uno o varios de sus puntos por su propio baricentro, al que se asigna la suma —no nula— de las masas correspondientes. Asociar —o, por cierto, disociar— así los puntos permitirá no solo poner de manifiesto propiedades elementales de ciertas configuraciones, sino también demostrar de manera rápida y elegante, evitando cualquier cálculo, que varios puntos están alineados o que varias rectas concurren en un mismo punto.
El abecé del baricentro
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El baricentro, prácticamente desaparecido de los programas escolares actuales, permite situar unos puntos respecto de otros y resulta muy útil incluso en contextos geométricamente sencillos. Por ejemplo, aunque generalmente se sabe que las tres medianas de un triángulo concurren en el «centro de gravedad», puede ignorarse dónde se encuentra exactamente. Si abordamos el problema al revés y nos interesamos por el baricentro de los tres vértices A, B y C, a cada uno de los cuales asignaremos la masa 1, podemos situarlo con precisión y demostrar que es, en efecto, la intersección de las medianas. Al agrupar, por asociatividad, los puntos B(1) y C(1), cuyo baricentro es el punto medio I del segmento [BC], al que conviene asignar la masa 2, resulta que G, baricentro del sistema {A(1), B(1), C(1)}, también es el de otro sistema: {I(2), A(1)}.
