Étudiées par le mathématicien italien Ernesto Cesàro (1859–1906) dans les années 1880, elles se définissent à partir d’une courbe de départ (Γ0), appelée souvent ligne fondamentale. Une courbe barycentrique associée à (Γ0) est le lieu des centres de gravité des arcs de la courbe (Γ0) comptés à partir d’un point fixe de (Γ0). Le « centre de gravité » doit ici être vu comme un barycentre continu d’un système infini de points.
Le vecteur vitesse de ces centres de gravité successifs pointe toujours vers le point de la ligne fondamentale, de sorte que la courbe barycentrique est une courbe de poursuite (voir Courbes et Trajectoires, Bibliothèque Tangente 74, 2021). Bien sûr, associées à une ligne fondamentale, il existe une infinité de courbes barycentriques selon le point fixe choisi.
Étudions un premier exemple. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, si l’on prend comme ligne fondamentale une droite (D) et comme point fixe un point quelconque de cette droite, la courbe barycentrique associée est (D) elle-même.
Maintenant, prenons comme ligne fondamentale le cercle de centre O (0, 0) et de rayon 1, et pour point fixe le point F de coordonnées (1, 0). Quand M0 parcourt le cercle, le point courant M de la courbe barycentrique est donc défini comme le centre de gravité de l’arc \stackrel{\frown}{\mathrm{FM_0}}. Dans la figure ci-contre, le point M0 a parcouru le cercle cinq fois. La courbe barycentrique associée (en rouge) est une cochléoïde. Ses équations paramétriques sont x(t)=sin⁡ttety(t)=1−cos⁡ttx(t)=\frac{\sin t}{t}\quad \text{et}\quad y(t)=\frac{1-\cos t}{t}
Signalée en 1699 par le mathématicien britannique John Wallis (1616–1703), la cochléoïde peut aussi se définir comme projection centrale d’une hélice circulaire lorsque le centre de la projection est choisi sur cette dernière.
REFERENCE
Le site Mathcurve (www.mathcurve.com, Encyclopédie en ligne des formes remarquables), administré par Robert Ferréol.