théorème de Desargues

Imaginez deux triangles dont chaque paire de sommets correspondants est reliée par une droite. Si ces trois droites passent par un même point, une seconde organisation apparaît : les côtés correspondants, prolongés au besoin, se rencontrent en trois points placés sur une même droite.

Le théorème de Desargues relie ainsi deux façons de voir les mêmes triangles : une perspective depuis un point et un alignement sur une droite. Il affirme aussi la réciproque.

Le théorème de Desargues, aussi appelé théorème des deux triangles, est un résultat de géométrie projective. On considère deux triangles ABC et A′B′C′ sans sommet commun. Les sommets A et A′, B et B′, C et C′ sont dits homologues ; leurs côtés homologues sont AB et A′B′, BC et B′C′, puis CA et C′A′.

Si les droites AA′, BB′ et CC′ sont concourantes en un point M et si, dans chaque paire, les supports des côtés homologues sont distincts, leurs intersections uniques P = AB ∩ A′B′, Q = BC ∩ B′C′ et R = CA ∩ C′A′ sont alignées. Réciproquement, si ces trois intersections sont définies et alignées, cet alignement entraîne la concourance des trois droites reliant les sommets homologues.

Dans la formulation affine donnée ici, si les trois paires de côtés homologues sont parallèles, alors AA′, BB′ et CC′ sont soit concourantes, soit parallèles. Cette alternative affine conserve la relation d’incidence portée par la formulation projective.

Soient deux triangles ABC et A′B′C′ sans sommet commun, tels que les supports de chaque paire de côtés homologues soient distincts. Si les droites AA′, BB′ et CC′ sont concourantes en M, alors les intersections uniques P = AB ∩ A′B′, Q = BC ∩ B′C′ et R = CA ∩ C′A′ sont alignées. Réciproquement, si ces trois intersections sont alignées, les droites AA′, BB′ et CC′ sont concourantes.

La formulation projective s’applique à deux triangles ABC et A′B′C′ sans sommet commun. Il faut connaître la correspondance A ↔ A′, B ↔ B′ et C ↔ C′. Dans les deux sens, chaque paire de supports de côtés homologues doit former deux droites distinctes, afin que les trois intersections P, Q et R soient définies et uniques. Pour le sens direct, les trois droites reliant les sommets homologues doivent passer par un même point M ; pour la réciproque, les trois intersections doivent être alignées.

Si, dans le plan affine ordinaire, AB est parallèle à A′B′, leur intersection P n’y est pas un point fini : la construction projective de P ne se lit donc pas directement sur ce dessin. Lorsque les trois paires de côtés homologues sont parallèles, on emploie la formulation affine : AA′, BB′ et CC′ sont concourantes ou parallèles.

Dans un repère, prenons M = (0, 0), A = (1, 0), B = (0, 1) et C = (1, 1). Plaçons ensuite A′ = (2, 0), B′ = (0, 3) et C′ = (4, 4). Chaque sommet primé est sur la droite qui joint M au sommet homologue non primé.

1. Les droites AA′, BB′ et CC′ passent donc toutes par M.
2. Les supports AB et A′B′ ont pour équations x + y = 1 et 3x + 2y = 6. Leur intersection est P = (4, −3).
3. Les supports BC et B′C′ se coupent en Q = (−8, 1).
4. Les supports CA et C′A′ se coupent en R = (1, −2).

La droite passant par Q et P a pour équation $x+3y+5=0x+3y+5=0$. En remplaçant x et y par les coordonnées de R, on obtient 1 + 3 × (−2) + 5 = 0. Le point R appartient donc aussi à cette droite : P, Q et R sont bien alignés, comme l’annonce le théorème. La figure matérialise ce double réseau de concourance et d’alignement.

Dans une construction projective, on utilise le sens direct lorsque la concourance de AA′, BB′ et CC′ est visible ou déjà établie : le théorème fournit alors l’alignement de P, Q et R. Si l’alignement est au contraire la donnée accessible, la réciproque fournit la concourance.

Dans une configuration affine, on commence par contrôler les trois paires de côtés homologues. Si elles sont parallèles, la variante affine donne l’alternative à vérifier pour les droites AA′, BB′ et CC′ : elles passent toutes par un même point ou elles sont parallèles.

La concourance et l’alignement ne portent pas sur les mêmes objets. La concourance concerne les trois droites AA′, BB′ et CC′, qui ont le point M en commun. L’alignement concerne les trois points P, Q et R, intersections des supports de côtés homologues. Dans l’exemple, les trois droites AA′, BB′ et CC′ passent par M = (0, 0), ce qui établit leur concourance ; les trois points P, Q et R appartiennent à la droite d’équation x + 3y + 5 = 0, ce qui établit leur alignement.

Des côtés sont des segments, mais le théorème fait intervenir leurs supports, c’est-à-dire les droites entières. Dans l’exemple, P = (4, −3) et Q = (−8, 1) se trouvent hors des côtés tracés comme segments ; il faut donc prolonger les droites pour les obtenir.

Dans le plan affine, deux supports parallèles n’ont pas d’intersection finie. Si les trois paires de côtés homologues sont parallèles, il ne faut pas forcer la construction de P, Q et R : la formulation affine conclut que les droites joignant les sommets homologues sont concourantes ou parallèles.

L’absence de sommet commun est une restriction de l’énoncé fourni, suffisante pour écarter certains cas dégénérés, mais elle n’est pas la condition fondamentale du théorème. Il faut surtout que les droites reliant les sommets homologues et les intersections utilisées soient bien définies. Si deux supports homologues sont confondus, leur intersection n’est pas un point unique ; la notation correspondante, telle que P = AB ∩ A′B′, ne détermine plus la donnée attendue. Il faut alors isoler cette configuration dégénérée avant d’appliquer l’énoncé.

La géométrie projective fournit le cadre naturel dans lequel concourance et alignement se répondent. La fiche Alignés précise la propriété vérifiée par les trois points d’intersection P, Q et R.