GéométriePersonnage · Glossaire
point de Fermat
Dans un triangle ABC dont chaque angle est strictement inférieur à 120°, le point de Fermat est l’unique point du plan qui minimise la somme de ses distances aux trois sommets. Il est intérieur au triangle et les segments qui le relient aux sommets forment deux à deux des angles de 120°. On le construit en dressant extérieurement un triangle équilatéral sur chaque côté : les droites joignant chaque sommet au sommet opposé du triangle équilatéral correspondant sont concourantes en ce point.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le point de Fermat par les trois angles de 120°.
- Le construire au moyen de triangles équilatéraux extérieurs.
- Vérifier sur un triangle équilatéral la somme minimale des distances.
- Traiter correctement le cas où un angle atteint ou dépasse 120°.
En clair
Imaginez trois maisons placées aux sommets d’un triangle et un dépôt à installer. Chaque trajet entre le dépôt et une maison compte. Le point de Fermat est l’emplacement qui rend aussi petite que possible la longueur totale des trois trajets.
Lorsque les trois angles du triangle sont inférieurs à 120°, ce point est intérieur. Les trois directions vers les sommets s’y écartent alors deux à deux de 120°. Cette ouverture équilibrée, et non l’égalité des trois distances, caractérise la position optimale.
Définition
Dans un triangle ABC dont chacun des angles est strictement inférieur à 120°, le point de Fermat, aussi appelé point de Torricelli, est l’unique point I qui minimise la somme des distances aux trois sommets. Pour un point variable M du plan, cette propriété s’écrit . Les segments [IA], [IB] et [IC] forment deux à deux des angles de 120°.
Une construction classique consiste à bâtir, à l’extérieur de ABC, les triangles équilatéraux BCD, ACE et ABF. Les droites (AD), (BE) et (CF) passent par I. Les cercles circonscrits à ces trois triangles équilatéraux passent eux aussi par I ; la source rattache ce concours au théorème du pivot de Forder, démontré par Miquel en 1838. Si P, Q et R sont les centres de gravité des trois triangles extérieurs, PQR est équilatéral : c’est le triangle extérieur de Napoléon.
La condition « strictement inférieur à 120° » est essentielle pour cette description intérieure. Si un angle atteint ou dépasse 120°, le minimum de la somme des distances est réalisé au sommet de cet angle, et non en un point intérieur formant trois angles de 120°.
Où on le rencontre
On rencontre le point de Fermat sur une figure formée d’un triangle ABC et d’un point intérieur relié aux trois sommets. Trois marqueurs le signalent : les angles au point intérieur valent 120°, trois triangles équilatéraux peuvent être construits extérieurement, et les droites joignant chaque sommet au sommet extérieur opposé sont concourantes.
La figure porte une information d’optimisation : la somme des trois longueurs reliant le point aux sommets est minimale. Les centres de gravité P, Q et R des triangles extérieurs forment en outre un triangle équilatéral, appelé triangle extérieur de Napoléon.
Le mode d'emploi
La grandeur à surveiller est la somme des trois distances aux sommets. Pour situer le point, commencez par mesurer les angles du triangle. Si chacun est strictement inférieur à 120°, construisez extérieurement un triangle équilatéral sur chacun des trois côtés. Tracez ensuite (AD), (BE) et (CF) : leur point de concours est I. Contrôlez enfin que les trois angles AIB, BIC et CIA valent 120°.
Le mot « extérieurement » fixe une convention importante : chaque triangle équilatéral est placé du côté opposé au troisième sommet de ABC. L’œil peut prendre I pour le centre du triangle ou croire les distances IA, IB et IC égales. Ce n’est vrai que dans des cas symétriques ; le bon contrôle porte sur les angles de 120° et sur la somme des distances.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle équilatéral ABC de côté 6 cm. Ses trois angles valent 60°, donc la condition d’existence du point intérieur est satisfaite. Par symétrie, le point de Fermat I coïncide avec le centre du triangle. La figure rend visibles les trois segments égaux et leur séparation angulaire.
1. La hauteur du triangle vaut .
2. Le centre se trouve aux deux tiers de cette hauteur à partir d’un sommet. On obtient donc .
3. La somme minimale est alors .
Le contrôle est refaisable : une rotation de 120° autour de I échange A, B et C. Elle impose à la fois l’égalité des trois distances et les trois angles de 120°.
En pratique
Pour relier trois sites par un réseau aussi court que possible, on cherche le point de jonction qui minimise la longueur totale des trois branches. Si aucun angle du triangle des sites n’atteint 120°, le point de Fermat fournit cette jonction.
Sur une construction à la règle et au compas, on ajoute les trois triangles équilatéraux extérieurs puis on trace deux des droites (AD), (BE) et (CF). Leur intersection suffit ; la troisième droite sert de contrôle.
Si un angle du triangle mesure au moins 120°, la construction intérieure n’est plus le bon geste. Le sommet de cet angle est directement le point qui minimise la somme des distances.
À ne pas confondre
Le point de Fermat n’est pas le centre de gravité. Le centre de gravité est l’intersection des médianes ; le point de Fermat minimise la somme des distances aux sommets. Dans un triangle scalène, ces deux points sont généralement distincts.
Il n’est pas non plus le centre du cercle circonscrit. Ce dernier est équidistant des trois sommets, tandis que le point de Fermat est repéré par trois directions séparées de 120°. Dans un triangle équilatéral seulement, ces centres coïncident.
Enfin, le point de Fermat I ne désigne pas le triangle extérieur de Napoléon PQR. Le premier est un point optimal associé à ABC ; le second est le triangle équilatéral formé par les centres de gravité des trois triangles équilatéraux extérieurs.
Limites et pièges
Au seuil de 120°, le minimum se trouve au sommet de cet angle. Le point intérieur caractérisé par trois angles de 120° disparaît : il ne faut donc pas prolonger mécaniquement la construction valable sous le seuil.
Au-delà de 120°, le même sommet reste le minimiseur. Le symptôme est immédiat à la mesure des angles : si l’un d’eux vaut plus de 120°, on choisit ce sommet au lieu de chercher un concours intérieur.
Une construction équilatérale faite du mauvais côté peut produire une intersection étrangère au problème. Chaque triangle ajouté doit être extérieur à ABC, donc situé de l’autre côté de son côté de base que le sommet restant.
L’égalité IA = IB = IC n’est pas une propriété générale du point de Fermat. Elle apparaît dans l’exemple équilatéral par symétrie ; pour un triangle quelconque, ce sont les angles AIB, BIC et CIA qui valent 120°.
Pour aller plus loin
Le recours à des triangles équilatéraux rapproche cette construction d’un autre résultat surprenant de géométrie du triangle : Le « miracle » de Morley. Le lecteur y verra comment une configuration angulaire fait elle aussi apparaître un triangle équilatéral.
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