problème de Fermat

Imaginez trois maisons et un point où installer une source d’eau. Le meilleur emplacement est celui qui rend aussi courte que possible la somme des trois conduites vers les maisons. Dans un triangle dont les angles sont tous inférieurs à 120°, ce point se trouve à l’intérieur. Les trois directions vers les sommets se séparent alors régulièrement : chaque angle entre deux conduites mesure 120°. Si un angle atteint 120° ou davantage, l’emplacement optimal devient directement le sommet correspondant.

Le problème de Fermat cherche, pour un triangle ABC, le point M qui minimise la somme des distances de M aux trois sommets. Cette somme s’écrit MA + MB + MC, où MA, MB et MC désignent respectivement les longueurs des segments reliant M à A, B et C. La forme du triangle détermine la solution. Si un angle est supérieur ou égal à 120°, le minimum est atteint au sommet qui porte cet angle. Si les trois angles sont strictement inférieurs à 120°, le minimum est atteint en un unique point intérieur. Ce point est appelé point de Fermat, ou point de Torricelli. Ses segments vers A, B et C forment deux à deux des angles de 120°. Cette caractérisation donne à la fois une manière de reconnaître le point et une condition précise d’existence de la configuration intérieure.

Pour orienter la recherche dans un triangle quelconque ABC, commencez par vérifier que ses trois angles sont inférieurs à 120°. Dans ce cas, construisez deux triangles équilatéraux à l’extérieur du triangle ABC, puis tracez les segments reliant leurs nouveaux sommets aux sommets opposés de ABC : leur intersection donne le point de Fermat. Cette construction matérialise le critère : les trois segments vers A, B et C y forment deux à deux des angles de 120°. Considérons maintenant un triangle équilatéral ABC de côté 6. Dans ce cas, chaque angle mesure 60°, donc la configuration intérieure du problème de Fermat s’applique.
Données : A(0, 0), B(6, 0), C(3, 3√3), et M(3, √3).

Le point M est le centre du triangle équilatéral. Les trois distances vers les sommets sont égales : MA = MB = MC = 2√3.
La somme recherchée vaut donc :

Le minimum est donc exactement 6√3, soit environ 10,39. Contrôle : chaque paire de segments MA, MB et MC forme un angle de 120° autour de M, ce qui correspond à la caractérisation du point de Fermat.

Pour relier trois lieux par un réseau de conduites ou de câbles, le problème de Fermat fournit un modèle lorsque le coût dépend principalement de la longueur totale. On repère d’abord les trois points dans un même plan, puis on cherche l’emplacement de jonction qui réduit cette longueur.

Lorsque les trois angles sont inférieurs à 120°, on peut rechercher le point intérieur où les trois branches se rencontrent sous des angles de 120°. Si un angle atteint 120° ou davantage, on choisit le sommet correspondant : ajouter une jonction intérieure n’améliore pas la somme des longueurs.

Si les longueurs ne sont pas le seul coût, ce modèle doit être remplacé par une optimisation adaptée. Des tarifs différents, des obstacles ou des passages obligés modifient le problème, même si les trois lieux restent les mêmes.

Le point de Fermat ne se confond pas avec le centre de gravité. Dans un triangle équilatéral, les deux points coïncident, mais dans un triangle quelconque ils répondent à des critères différents : le centre de gravité équilibre les sommets, tandis que le point de Fermat minimise MA + MB + MC lorsque la configuration intérieure existe.

Il ne faut pas non plus l’identifier systématiquement à l’orthocentre, qui est l’intersection des hauteurs. Un triangle non équilatéral permet de les distinguer : le point de Fermat est reconnu par ses trois angles de 120° vers les sommets, alors que l’orthocentre est défini par la perpendicularité aux côtés opposés.

Le seuil de 120° est la frontière décisive. Si un angle du triangle est supérieur ou égal à 120°, le minimum est atteint à ce sommet ; les trois segments ne forment alors pas trois angles de 120° autour d’un point intérieur. Il faut donc tester les angles avant d’utiliser cette caractérisation.

Le mot « triangle » suppose ici un triangle non dégénéré. Lorsque les trois sommets sont alignés, la configuration intérieure à trois angles de 120° n’existe pas ; le problème se réduit à une optimisation sur un segment, avec un traitement distinct. De même, un point situé dans l’espace peut être projeté sur le plan du triangle sans augmenter la somme des distances.

Dans un triangle équilatéral, le centre de Fermat est bien intérieur et unique, mais cette symétrie peut masquer le critère général. Il faut retenir la minimisation de la somme des trois distances, et non l’apparence centrale du point dans ce seul cas.

Le glossaire Triangle aigu permet de prolonger l’étude des formes de triangles et de leurs angles. Cette lecture aide à situer les triangles dont les trois angles sont inférieurs à 90°, un sous-cas où le point de Fermat est nécessairement dans la configuration intérieure décrite ici.