Le rêve de René Descartes, à savoir transformer un problème de géométrie pure en un problème algébrique, était bien réalisable… mais plus d'un siècle plus tard ! Grâce aux nombres complexes, une autre façon d'explorer les figures et constructions géométriques a ainsi vu le jour.
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L'étude des isométries du plan (symétries, translations, rotations...) peut parfois donner le vertige. Que devient un point ou une figure lorsque l'on applique successivement plusieurs transformations ? Les nombres complexes en donnent une représentation aussi élégante que lumineuse.
Une fois admise l'existence d'un nombre i tel que i²=-1, ne risque-t-on pas de perdre le contact avec la réalité physique ? Au contraire, une correspondance profonde et féconde se met en place : des questions de géométrie pure sont réglées par de simples manipulations algébriques.
Les nombres complexes, nés de calculs impossibles, ont trouvé une interprétation géométrique improbable. Cette rencontre entre le monde de l'algèbre et celui de la géométrie est magnifiquement illustrée par des théorèmes sur les racines d'un polynôme complexe.
Les isométries (et plus généralement les similitudes) ne sont pas les seules transformations du plan qui se décrivent facilement à l'aide des nombres complexes. C'est aussi le cas de l'inversion.
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