Les nombres complexes
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Approche algébrique
Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés. Ce fut également le cas des « imaginaires », qui ont donné naissance à la notion de nombres complexes. À l'origine de leur – tardive – introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations du deuxième degré qui n'avaient pas de solution réelle. Cela a débouché sur la conception d'un ensemble puissant, possédant la structure de corps algébriquement clos, c'est-à-dire dans lequel toute équation algébrique admet une solution. Mieux, dans la mesure où les complexes peuvent être identifiés à un point du plan, une puissante correspondance entre algèbre, analyse, géométrie et trigonométrie allait naître !
Représentations géométriques
À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables. Grâce à l'outil puissant des nombres complexes, des résultats de géométrie peuvent se démontrer, voire être découverts, comme le théorème de Marden. Des notions, comme celle des fractales, peuvent être mises en valeur.
Complexes, trigonométrie et analyse
Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans ℂ, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore dont personne n'aurait pu imaginer la richesse. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie, dont les formules deviennent accessibles à tous ! À telle enseigne que des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent plus s'en passer. La fonction zêta nous fait maintenant miroiter mille merveilles mathématiques, notamment au sujet des nombres premiers, briques élémentaires de l'arithmétique. Mais gare au téméraire qui abordera l'hypothèse de Riemann : le million de dollars promis pour sa démonstration témoigne à lui seul de l'ampleur et de la difficulté de la tâche…
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PodcastCes fous d'équationsqui créèrent les imaginaires
Les nombres complexes, d'abord qualifiés d'« imaginaires », n'ont pas été conçus comme nous les étudions aujourd'hui. Ils ont avant tout été introduits comme des outils pour résoudre des équations polynomiales… et des défis mathématiques, qui faisaient rage en Europe à la Renaissance.
Les complexes selon Adrien Douady
Le film Dimensions donne à voir un certain nombre de représentations spectaculaires des complexes. À redécouvrir d'urgence !
Enseigner les complexes en France
Les nombres complexes, s'ils paraissent évidents dans le libellé des programmes scolaires d'aujourd'hui, n'ont pas toujours fait partie du corpus d'enseignement des lycées.
PodcastQuels noms pour les complexes ?
La première formalisation des nombres imaginaires, déjà introduits par le mathématicien italien Girolamo Cardano en 1545, mais ils n'avaient alors pas encore de nom, revient à son compatriote Rafaele Bombelli en 1572.
Avec un ? comme comique
Les classiques de l'humour mathématique empruntent souvent quelques-unes de leurs pépites au vocabulaire des nombres complexes…
Un peu d'étymologie
Le vocabulaire spécifique aux nombre complexes est du à plusieurs mathématiciens au cours des siècles
PodcastAu détour des complexes
Détourner son chemin, au cours d'une démonstration, pour emprunter celui des nombres complexes, peut conduire à l'un de ces « inattendus mathématiques » salvateurs.
Une jolie transformation
Une opération sur les complexes transforme les droites en cercles et inversement. Une transformation à garder en tête pour traiter des problèmes de droites et de cercles…
Les complexes de Bêta
L'Institut intergalactique est le temple de l'excellence où exerce le redouté professeur Phi. Bêta, en pleine déprime, peut compter sur ses amis pour venir à bout de ses complexes…
Déambulations dans le plan complexe
La « marche aléatoire de l'ivrogne » pose de jolis problèmes arithmétiques. L'analogie avec le plan complexe permet de les appréhender plus naturellement.
♦ Magie complexe
♦♦♦ Argand et les imaginaires
♦♦ Le bracelet d'Agathe
♦♦ Un ventilateur de bric et de broc
♦♦♦ Le vieux parchemin
♦♦♦ Triangles semblables sur un triangle
♦♦ La puissance de i
♦♦♦ Les racines cubiques
♦♦ Un cube égal à i ?
