? est un corps algébriquement clos

Ne vous laissez pas impressionner par le vocabulaire : un corps n'est rien d'autre qu'un ensemble où il est possible d'effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions selon les règles habituelles.

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Attardons-nous d'abord sur l'ensemble $\mathbb{Q}\backslash mathbb\{Q\}$, celui des nombres rationnels (quotients de deux entiers), car il correspond à un certain achèvement, que n'ont ni $\mathbb{N}\backslash mathbb\{N\}$, ni $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$, respectivement ensembles des entiers positifs et relatifs. Les quatre opérations y ont bien leurs propriétés habituelles (associativité, commutativité, distributivité), mais, de plus, leurs résultats restent dans $\mathbb{Q}\backslash mathbb\{Q\}$. Autrement dit, elles y sont « internes » à l'exception près que l'on ne peut pas diviser par zéro. En résumé, $\mathbb{Q}\backslash mathbb\{Q\}$ est un corps et, dans ce sens, il a un côté « achevé ».

Le corps $\mathbb{Q}\backslash mathbb\{Q\}$ convient pour toutes les applications pratiques où les approximations suffisent. Cependant, il ne contient aucun nombre correspondant à certaines quantités géométriques simples, comme la longueur de la diagonale d'un carré de côté unité. Celle-ci peut seulement être approchée. On peut obtenir une suite d'approximations qui approchent la valeur d'aussi près qu'on le souhaite, comme 1,5 - 1,4 - 1,414… mais pas de nombre rationnel dont le carré soit exactement égal à 2. Autrement dit, 2 n'a pas de racine carrée dans $\mathbb{Q}\backslash mathbb\{Q\}$.