GéométrieObjet géométrique · Glossaire
triangle acutangle
Un triangle acutangle est un triangle dont les trois angles intérieurs sont aigus, c'est-à-dire que chacun d'eux est strictement compris entre 0° et 90°. Cette propriété s'oppose au triangle rectangle (qui possède un angle droit) et au triangle obtusangle (qui possède un angle obtus). Dans un triangle acutangle, l'orthocentre (point de concours des trois hauteurs) se situe à l'intérieur du triangle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un triangle acutangle à partir de ses trois angles.
- Vérifier le critère sur les mesures 50°, 60° et 70°.
- Distinguer les seuils strictement inférieur, égal et supérieur à 90°.
- Relier le caractère acutangle à un orthocentre intérieur.
En clair
Imaginez un triangle dont les angles mesurent 50°, 60° et 70°. Aucun ne s’ouvre jusqu’à former un angle droit de 90° : les trois restent aigus. Un tel triangle est acutangle.
Le mot ne décrit donc ni la taille ni l’inclinaison du dessin. Il indique seulement que chacune des trois pointes du triangle correspond à un angle strictement inférieur à 90°.
Définition
Un triangle acutangle, aussi appelé triangle aigu ou oxygone, est un triangle dont chacun des trois angles intérieurs est aigu. Notons α, β et γ les mesures de ces angles. Le critère complet est . Les inégalités sont strictes : aucun angle ne peut atteindre 90°.
Cette qualification porte sur les angles, indépendamment du classement par les côtés. Un triangle acutangle peut ainsi être isocèle ou scalène ; le triangle d’angles 50°, 60° et 70° est scalène. Dans tous les cas acutangles, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre, et ce point se trouve à l’intérieur du triangle.
De quoi c'est fait
Le triangle possède trois sommets, trois côtés et un angle intérieur à chaque sommet. Ce sont les trois angles, et non l’apparence du tracé, qui déterminent le caractère acutangle : chacun doit rester strictement entre 0° et 90°. Les côtés relient les sommets et fixent la forme, tandis que les angles permettent de la classer.
À chaque sommet correspond aussi une hauteur, droite perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs se rencontrent à l’orthocentre. Lorsque les trois angles sont aigus, leurs segments utiles traversent l’intérieur du triangle et leur point commun est intérieur. Une rotation, un agrandissement ou un changement de couleur du dessin ne modifie pas ce classement tant que les angles sont conservés.
Un exemple, pas à pas
On étudie un triangle ABC. Les données sont les mesures de ses trois angles intérieurs : l’angle en A vaut 50°, celui en B vaut 60° et celui en C vaut 70°.
1. La somme annoncée vaut 50° + 60° + 70° = 180°.
2. On vérifie séparément 0° < 50° < 90°, 0° < 60° < 90° et 0° < 70° < 90°.
3. Le plus grand angle mesure 70° ; puisqu’il reste inférieur à 90°, les deux autres le sont également.
4. Le triangle ABC est donc acutangle.
2. On vérifie séparément 0° < 50° < 90°, 0° < 60° < 90° et 0° < 70° < 90°.
3. Le plus grand angle mesure 70° ; puisqu’il reste inférieur à 90°, les deux autres le sont également.
4. Le triangle ABC est donc acutangle.
Les hauteurs issues de A, B et C peuvent alors être tracées. La figure matérialise leur concours au point H, situé à l’intérieur du triangle.
Le contrôle est refaisable sans se fier au dessin : il suffit de reprendre la plus grande mesure, 70°, puis de constater à nouveau que 70° < 90°.
En pratique
Pour classer un triangle à partir de mesures, on relève ses trois angles au rapporteur. Si chacun est strictement inférieur à 90°, on retient « acutangle » ; si l’un atteint ou dépasse 90°, il faut choisir une autre catégorie.
Quand les trois mesures sont déjà données, le geste le plus rapide consiste à repérer la plus grande. Dans l’exemple 50°, 60°, 70°, vérifier que 70° est inférieur à 90° suffit à confirmer que les trois angles sont aigus.
Avant de tracer les hauteurs, le classement permet aussi de prévoir la position de leur point de concours. Pour un triangle acutangle, l’orthocentre doit apparaître à l’intérieur ; un résultat extérieur signale une erreur de tracé ou de classement.
À ne pas confondre
Triangle rectangle. Il possède un angle exactement égal à 90°, alors qu’un triangle acutangle exige trois angles strictement inférieurs à 90°. Des mesures de 30°, 60° et 90° tranchent immédiatement : le triangle n’est pas acutangle.
Triangle obtusangle. Il possède un angle strictement supérieur à 90°. Des mesures de 30°, 40° et 110° désignent donc un triangle obtusangle, contrairement aux mesures 50°, 60° et 70°.
Angle aigu. Cette notion qualifie un seul angle. Pour qualifier tout le triangle d’acutangle, constater un angle aigu ne suffit pas : les trois angles doivent satisfaire le même critère.
Limites et pièges
Le seuil de 90° est exclu. Une mesure égale à 90°, même pour un seul angle, fait échouer la condition stricte. Il faut comparer avec < 90° et non avec ≤ 90°.
Une mesure proche du seuil demande de la prudence. Si un rapporteur indique environ 90°, son imprécision peut empêcher de conclure. Il faut améliorer la mesure ou utiliser des données exactes avant de classer le triangle.
Trois nombres inférieurs à 90° ne suffisent pas toujours. Pour être les angles d’un triangle, ils doivent aussi totaliser 180°. Ainsi, 40°, 50° et 60° passent le test du seuil, mais leur somme de 150° ne décrit pas un triangle.
L’apparence peut tromper. Un angle dessiné très ouvert peut sembler droit sans mesurer 90°. Le classement doit reposer sur les mesures ou sur des propriétés exactes, pas sur l’œil seul.
Pour aller plus loin
Angle aigu — Pour approfondir le seuil angulaire qui doit être respecté aux trois sommets.
Orthocentre — Pour étudier le point de concours des hauteurs et sa position dans le triangle.
triangle obtusangle — Pour comparer le cas où un angle dépasse strictement 90°.
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