GéométrieNotion · Glossaire
Scalène
Un triangle scalène est un triangle dont les trois côtés ont des longueurs toutes différentes. Par conséquent, ses trois angles sont également tous distincts. Le triangle scalène s'oppose au triangle isocèle (deux côtés égaux) et au triangle équilatéral (trois côtés égaux). Dans un triangle scalène, aucune symétrie axiale n'est possible. Il est le type de triangle le plus général : si trois longueurs sont tirées selon un modèle continu qui attribue une probabilité nulle aux égalités exactes, alors, conditionnellement au fait qu'elles forment un triangle, celui-ci est scalène avec probabilité 1.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un triangle scalène à ses trois côtés de longueurs distinctes.
- Vérifier sur un exemple de 4 cm, 5 cm et 6 cm que le triangle existe et qu'il est scalène.
- Distinguer les classements selon les côtés et selon les angles.
- Interpréter correctement l'affirmation probabiliste sur les triangles aléatoires.
En clair
Prenez trois baguettes de 4 cm, 5 cm et 6 cm, puis assemblez leurs extrémités. Elles forment un triangle dont aucun côté n'a la même longueur qu'un autre : ce triangle est scalène.
Cette absence d'égalité se retrouve dans les angles : le plus grand fait face au côté de 6 cm et le plus petit au côté de 4 cm. La figure n'a donc aucun axe qui la partage en deux moitiés superposables.
Définition
Un triangle est scalène si les longueurs de ses trois côtés sont deux à deux différentes. Pour un triangle de sommets A, B et C, le critère s'écrit : . Il faut d'abord que ces trois longueurs puissent former un triangle : chacune doit être strictement inférieure à la somme des deux autres.
Dans tout triangle, des côtés égaux font face à des angles égaux, et réciproquement. Trois côtés de longueurs distinctes entraînent donc trois angles de mesures distinctes. Aucun axe de symétrie ne peut alors échanger deux sommets en laissant le triangle inchangé.
La qualification « scalène » classe le triangle selon ses côtés. Elle n'impose pas qu'il soit aigu, rectangle ou obtus : ces mots le classent selon ses angles. Parmi les triangles valides obtenus par un tirage continu de longueurs, conditionné à la formation d'un triangle, les égalités exactes ont une probabilité nulle ; le triangle est donc scalène avec probabilité 1 dans ce modèle.
Un exemple, pas à pas
On dispose de trois segments destinés à former un triangle.
Données : AB mesure 4 cm, AC mesure 5 cm et BC mesure 6 cm.
Données : AB mesure 4 cm, AC mesure 5 cm et BC mesure 6 cm.
1. Ordonnez les longueurs : 4 cm < 5 cm < 6 cm. Elles sont toutes différentes.
2. Contrôlez que les segments se ferment. Il suffit de tester les deux plus petits contre le plus grand : 4 cm + 5 cm = 9 cm, et 9 cm > 6 cm. Un triangle existe bien.
3. Comparez les trois longueurs deux à deux : 4 ≠ 5, 5 ≠ 6 et 6 ≠ 4. Le triangle ABC est donc scalène.
Le contrôle est refaisable à la règle : les trois mesures restent 4 cm, 5 cm et 6 cm. Le côté de 6 cm fait face au plus grand angle, tandis que celui de 4 cm fait face au plus petit.
En pratique
Pour classer un triangle construit ou mesuré, comparez ses trois côtés. Si les trois mesures coïncident, le triangle est équilatéral ; si exactement deux coïncident, il est isocèle ; si elles sont toutes distinctes, il est scalène.
Sur un dessin codé, fiez-vous aux marques d'égalité portées sur les côtés, pas à l'impression visuelle. L'absence de marques ne prouve toutefois rien : mesurez les côtés si le dessin est à l'échelle, ou utilisez les données de l'énoncé.
Lors d'une construction à partir de trois longueurs, vérifiez aussi que la plus grande est inférieure à la somme des deux autres. Ce test décide d'abord si le triangle existe ; la comparaison des trois côtés décide ensuite s'il est scalène.
À ne pas confondre
Triangle isocèle. Il possède au moins deux côtés de même longueur, alors qu'un triangle scalène n'en possède aucun. Avec des côtés de 4 cm, 4 cm et 6 cm, le triangle est isocèle, pas scalène.
Triangle équilatéral. Ses trois côtés ont la même longueur, et ses trois angles sont égaux. Un triangle de côtés 5 cm, 5 cm et 5 cm est équilatéral ; celui de côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm est scalène.
Limites et pièges
Trois longueurs distinctes ne suffisent pas toujours. Les valeurs 4 cm, 5 cm et 9 cm sont toutes différentes, mais 4 + 5 = 9 : la figure s'aplatit et n'est pas un triangle. Il faut une inégalité stricte.
Un dessin peut tromper. Deux côtés presque égaux peuvent sembler identiques, ou l'inverse. Une apparence asymétrique n'est pas un critère ; il faut comparer des mesures fiables ou les données codées.
« Aléatoire » demande un modèle. La probabilité 1 suppose un tirage continu et ne concerne que les tirages qui forment effectivement un triangle. Avec des longueurs entières ou arrondies, les égalités peuvent avoir une probabilité positive.
Scalène ne signifie pas aigu. Un triangle scalène peut être aigu, rectangle ou obtus. Pour connaître ce second classement, il faut examiner les angles, indépendamment des égalités entre côtés.
Pour aller plus loin
Triangle aigu — Cette notion complète le classement par les côtés avec un classement fondé sur la mesure des angles.
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