patron d'un tétraèdre

Imaginez un tétraèdre en carton que l'on découpe le long de trois arêtes, puis que l'on déplie sur une table. Ses quatre faces triangulaires restent attachées et forment une figure plane : son patron. En repliant cette figure le long des côtés communs, les sommets libres doivent se rejoindre exactement.

Pour un tétraèdre équilatéral, les quatre triangles sont équilatéraux et identiques. Ils peuvent entourer un triangle central ou former une chaîne.

Un patron d'un tétraèdre est un assemblage plan de quatre triangles, reliés par trois côtés qui serviront de lignes de pliage. Chaque triangle reproduit une face du solide. Les côtés destinés à se rejoindre après pliage doivent avoir la même longueur, car ils représentent une même arête du tétraèdre. Les quatre triangles doivent aussi être disposés sans recouvrement dans le plan.

Dans une construction générale, on choisit une face comme base. Les trois autres triangles sont construits sur ses côtés à partir des six longueurs d'arêtes du tétraèdre. La projection du quatrième sommet peut tomber sur un côté de la base, à l'intérieur ou à l'extérieur de celle-ci, voire coïncider avec un sommet de la base ; cette position aide à déterminer les hauteurs des faces latérales, mais elle ne constitue généralement pas un sommet supplémentaire du patron après rabattement.

Pour un tétraèdre équilatéral, les quatre faces sont des triangles équilatéraux congruents. À symétrie près, le patron est soit un triangle entouré des trois autres, soit une chaîne de quatre triangles. Un autre cas part d'un triangle aigu : les trois segments joignant les milieux de ses côtés le partagent en quatre triangles congruents, qui se replient en un tétraèdre équifacial.

On veut fabriquer un tétraèdre équilatéral d'arête 6 cm.
Données : quatre faces triangulaires ; chaque côté mesure 6 cm ; un triangle servira de face centrale.

1. Tracez un triangle équilatéral de côté 6 cm.

2. Sur chacun de ses trois côtés, tracez à l'extérieur un autre triangle équilatéral de côté 6 cm. Le dessin comporte alors quatre faces.

3. La hauteur de chaque face vaut exactement $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 6=3\sqrt{3}h=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\backslash times\; 6=3\backslash sqrt\{3\}$ cm, soit environ 5,20 cm. Cette valeur permet de contrôler le tracé au compas et à la règle.

4. Pliez les trois côtés du triangle central. Les trois sommets extérieurs doivent coïncider pour former le quatrième sommet du solide.

Le contrôle final est refaisable : les six arêtes du tétraèdre obtenu mesurent 6 cm, à la précision du tracé et du pliage.

Pour fabriquer une maquette, on trace le patron sur du papier épais, puis on ajoute des languettes hors des faces. Les languettes servent au collage ; elles ne font pas partie du patron mathématique.

Pour vérifier un patron proposé, on associe les côtés qui se rejoindront. Chaque paire doit avoir la même longueur, et le pliage ne doit ni superposer deux faces ni laisser deux arêtes incompatibles.

Pour un tétraèdre équilatéral, le patron autour d'une face centrale est compact. La chaîne de quatre triangles peut être préférable lorsque le support disponible est long et étroit.

Patron et dessin en perspective. Un patron conserve les vraies formes et longueurs des faces, puis se replie. Une perspective donne l'apparence du solide sur une feuille : ses faces peuvent y sembler déformées.

Patron et projection du sommet. La projection plane du quatrième sommet est une donnée de construction. Elle peut être intérieure ou extérieure au triangle de base, mais elle ne constitue pas une cinquième face ni nécessairement un sommet du patron déplié.

Des longueurs égales ne suffisent pas toujours. Si des faces se recouvrent dans le plan ou si les mauvais côtés sont appariés, le dessin n'est pas un patron valide. Il faut suivre les correspondances des six arêtes avant de plier.

Le cas équifacial exige un triangle aigu. La construction par les trois segments des milieux s'applique lorsque chacun des trois angles du grand triangle est strictement inférieur à 90°. Un triangle rectangle ou obtus atteint ou dépasse ce seuil et ne donne pas, par ce pliage, un tétraèdre non dégénéré.

Une maquette réelle tolère des écarts. Les côtés censés coïncider ont la même longueur dans le modèle mathématique. Sur papier, on juge leur accord selon l'épaisseur du trait, la précision de l'instrument et celle du pliage, plutôt qu'en exigeant une égalité mesurée parfaite.

Le glossaire tétraèdre replace le patron parmi les sommets, les arêtes et les faces du solide.

La fiche Triangle aigu précise le critère angulaire indispensable à la construction équifaciale par les segments des milieux.