point de Monge

Imaginez un tétraèdre, une pyramide à quatre faces triangulaires. Choisissez deux arêtes qui ne se touchent pas. Par le milieu de l’une, faites passer un plan à angle droit avec l’autre. Échangez le rôle des deux arêtes, puis recommencez avec les trois paires possibles : vous obtenez six plans. Leur unique point commun est le point de Monge.

Soit un tétraèdre non dégénéré de sommets A, B, C et D. Ses arêtes opposées sont AB et CD, AC et BD, puis AD et BC : dans chaque paire, les deux arêtes n’ont aucun sommet commun. Le plan médial associé à AB passe par le milieu de AB et est perpendiculaire à CD. En associant de même un plan à chacune des six arêtes, on obtient six plans médiaux.

Le théorème de Monge affirme que ces six plans ont exactement un point commun, nommé point de Monge du tétraèdre. C’est l’analogue tridimensionnel de l’orthocentre d’un triangle, sans être l’intersection de quatre « hauteurs » définies comme dans le plan.

Le même point se repère à partir du centre O de la sphère circonscrite et du centre de gravité G. Si M désigne le point de Monge, la relation vectorielle est $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OG}\backslash overrightarrow\{OM\}=2\backslash overrightarrow\{OG\}$. Ainsi O, G et M sont alignés, G est le milieu du segment OM et, en coordonnées, M = 2G − O.

On rencontre le point de Monge dans un problème de géométrie de l’espace portant sur un tétraèdre. Quatre sommets, six arêtes et des milieux d’arêtes signalent le bon cadre. La mention d’arêtes opposées, de plans perpendiculaires, d’une sphère passant par les quatre sommets ou du centre de gravité constitue un indice supplémentaire. La notion relie alors deux lectures du même point : l’intersection de six plans médiaux et sa position sur la droite déterminée par les centres O et G.

La grandeur à situer est un point de l’espace, pas une longueur. 1. Nommez les quatre sommets et formez les trois paires d’arêtes sans sommet commun. 2. Pour une arête choisie, repérez son milieu. 3. Par ce milieu, considérez le plan dont la normale est dirigée comme l’arête opposée. 4. L’intersection commune des six plans donne M ; avec des coordonnées, le contrôle $M=2G-OM=2G-O$ est souvent plus direct.

Le piège visuel consiste à tracer le plan perpendiculaire à l’arête dont on a pris le milieu. Ce serait son plan médiateur. Ici, la perpendicularité porte sur l’arête opposée : le milieu et la direction normale proviennent de deux arêtes différentes.

Dans un repère orthonormé, prenons A(0 ; 0 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 6 ; 0) et D(0 ; 0 ; 8). Les coordonnées sont exprimées dans une même unité arbitraire. Les trois arêtes issues de A sont deux à deux perpendiculaires.

1. Le centre de la sphère circonscrite est O(2 ; 3 ; 4). En effet, sa distance à chacun des quatre sommets vaut √29.

2. Le centre de gravité est la moyenne des coordonnées des quatre sommets, soit G(1 ; 1,5 ; 2).

3. La relation entre les trois centres donne :

Le point de Monge est donc ici le sommet A.

4. Le contrôle par les plans médiaux est refaisable. Leurs six équations sont :

Les coordonnées de A satisfont les six équations, ce qui confirme que les six plans passent par le point calculé.

Dans un exercice donné par des coordonnées, le calcul de O et de G fournit rapidement $M=2G-OM=2G-O$. Cette voie est préférable à la construction des six plans lorsque le centre de la sphère circonscrite est déjà connu ou facile à déterminer.

Dans une construction géométrique, trois plans médiaux convenablement choisis peuvent localiser leur point commun. Les trois autres servent alors de contrôle : ils doivent passer par le même point. Si les coordonnées sont disponibles, la relation vectorielle offre un contrôle indépendant.

Dans un tétraèdre régulier, la symétrie confond le centre de la sphère circonscrite et le centre de gravité. La relation vectorielle montre alors que le point de Monge coïncide lui aussi avec ce centre commun.

L’orthocentre d’un triangle. Il appartient à une figure plane et provient de trois hauteurs. Le point de Monge appartient à un tétraèdre et provient de six plans médiaux. Le nombre de sommets et la dimension de la figure tranchent.

Le centre de gravité. G est la moyenne des quatre sommets, tandis que M vérifie $M=2G-OM=2G-O$. Ils coïncident seulement lorsque O et G coïncident ; dans l’exemple guidé, G(1 ; 1,5 ; 2) diffère de M, qui coïncide avec A.

Le plan médiateur d’une arête. Il passe par le milieu d’une arête et lui est perpendiculaire. Un plan médial du tétraèdre passe aussi par un milieu, mais il est perpendiculaire à l’arête opposée.

Quatre points coplanaires. Ils ne forment pas un tétraèdre non dégénéré. La sphère circonscrite n’a alors plus le même statut d’unicité dans l’espace, et la relation avec O ne doit pas être appliquée comme si le solide existait. Il faut d’abord vérifier que les quatre sommets ne sont pas coplanaires.

Point situé sur la frontière. Le point de Monge n’est pas nécessairement strictement intérieur au tétraèdre. Dans l’exemple guidé, il coïncide exactement avec le sommet A. Un tracé qui impose M au centre de la figure peut donc être trompeur ; la relation vectorielle doit primer.

Mauvaise paire d’arêtes. Deux arêtes adjacentes partagent un sommet et ne constituent pas une paire opposée. Si un plan est construit à partir d’une telle paire, il ne fait pas partie des six plans du théorème. Il faut reprendre la liste AB–CD, AC–BD et AD–BC.

Orthocentre — Pour retrouver dans le triangle la configuration dont le point de Monge est l’analogue spatial.

tétraèdre — Pour revoir les sommets, faces et paires d’arêtes sur lesquels repose la construction.

centre de gravité — Pour approfondir le point G utilisé dans la relation vectorielle avec O et M.