Feuerbach Karl

En 1822, Karl Feuerbach publie le résultat qui a attaché son nom à une figure remarquable du triangle. Tracez les trois hauteurs : leurs pieds appartiennent à un même cercle, appelé cercle des neuf points ou cercle d'Euler.

Ce cercle touche le cercle inscrit une seule fois, au point de Feuerbach. Il touche aussi chacun des trois cercles exinscrits. Le théorème relie ainsi cinq cercles construits à partir du même triangle.

Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) est un mathématicien allemand dont les travaux relèvent des géométries euclidienne et projective. Docteur à 22 ans, puis professeur au Gymnasium d'Erlangen, il mène une carrière brève, interrompue pour des raisons de santé. Il compte parmi les premiers auteurs à distinguer clairement les propriétés affines des propriétés projectives.

Son nom reste surtout associé à un théorème publié en 1822. Dans un triangle, le cercle passant par les pieds des trois hauteurs est aussi appelé cercle des neuf points ou cercle d'Euler. Il est tangent intérieurement au cercle inscrit et tangent extérieurement aux trois cercles exinscrits. Le contact avec le cercle inscrit porte le nom de point de Feuerbach.

Un autre travail, publié en 1827, introduit les coordonnées homogènes dans le plan projectif. Cette introduction est menée indépendamment de Möbius et de Plücker. Ces deux contributions doivent rester distinctes : l'une concerne une propriété de cercles attachés au triangle, l'autre un système de coordonnées pour le plan projectif.

Prenons un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 4 et AC = 3. Plaçons A au point (0, 0), B au point (4, 0) et C au point (0, 3). Le schéma permet de suivre la construction et de contrôler exactement le contact des deux cercles.

Données.
Triangle : A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3).
Cercle inscrit : centre I(1, 1), rayon 1.
Cercle des neuf points : centre N(1, 3/4), rayon 5/4.

Étape 1. Comme le triangle est rectangle en A, deux pieds de hauteurs coïncident avec A. Le troisième est le projeté de A sur le côté BC.

Étape 2. Les centres I et N ont la même abscisse. Leur distance vaut donc $NI=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}NI=1-\backslash frac\{3\}\{4\}=\backslash frac\{1\}\{4\}$.

Étape 3. La différence des rayons vaut elle aussi :

Contrôle. L'égalité entre la distance des centres et la différence des rayons prouve la tangence intérieure. Les deux cercles passent par F(1, 2) : c'est ici le point de Feuerbach.

Pour reconnaître le théorème de Feuerbach dans une figure, on repère d'abord un triangle, les pieds de ses hauteurs et le cercle qui les porte. Le cercle à comparer est ensuite le cercle inscrit, tangent aux trois côtés.

Pour vérifier un dessin coordonné, on détermine les centres et les rayons. Si la distance entre les centres égale la différence des rayons, comme dans le triangle 3–4–5, les cercles sont tangents intérieurement.

Pour étudier la seconde contribution de Feuerbach, il faut changer de cadre : le bon objet est alors le plan projectif et le bon outil, les coordonnées homogènes introduites dans son travail de 1827.

Cercle des neuf points et cercle inscrit. Le premier passe notamment par les pieds des hauteurs ; le second est tangent aux trois côtés. Dans l'exemple, leurs centres sont N(1, 3/4) et I(1, 1) : ils sont distincts et ne partagent que le point F(1, 2).

Point de Feuerbach et théorème de Feuerbach. Le point est le contact du cercle des neuf points avec le cercle inscrit. Le théorème est l'énoncé plus large qui affirme aussi les contacts avec les trois cercles exinscrits.

Géométrie euclidienne et géométrie projective. Le théorème des cercles appartient à la première contribution présentée ici. Les coordonnées homogènes introduites en 1827 concernent le plan projectif ; elles ne constituent pas une autre formulation du théorème de 1822.

Un triangle rectangle produit des coïncidences. Dans le triangle ABC rectangle en A, deux pieds de hauteurs sont tous deux le sommet A. Il ne faut pas chercher trois points distincts parmi ces seuls pieds ; le cercle des neuf points reste néanmoins bien défini.

Le sens de la tangence compte. Avec le cercle inscrit, la distance des centres égale la différence des rayons : la tangence est intérieure. Avec chacun des trois cercles exinscrits, le théorème annonce au contraire une tangence extérieure.

Le mot « cercle d'Euler » est un synonyme local. Dans cette fiche, il désigne le cercle des neuf points mentionné par la source. Il ne faut pas en déduire que le point de contact avec le cercle inscrit change de nom : ce contact reste le point de Feuerbach.

Le cercle inscrit permet d'approfondir le cercle auquel le cercle des neuf points est tangent au point de Feuerbach.

La géométrie projective donne le cadre de la contribution de 1827 sur les coordonnées homogènes, distincte du théorème de tangence.