point cyclique

Tracez plusieurs cercles, de tailles et de centres différents. Dans le plan réel ordinaire, ils ne passent évidemment pas tous par deux mêmes points. Mais la géométrie projective complexe ajoute une droite à l’infini et autorise des coordonnées complexes. Chaque cercle complété dans ce cadre rencontre alors cette droite aux deux mêmes endroits.

Ces deux endroits sont les points cycliques. Ils ne sont pas visibles sur un dessin réel : leur intérêt vient de la structure commune qu’ils révèlent derrière toutes les équations de cercle.

Dans le plan projectif complexe, un point est décrit par trois coordonnées homogènes, notées x, y et z, non toutes nulles et définies à un facteur non nul près. La droite à l’infini est donnée par z = 0. Les points cycliques, aussi appelés points circulaires à l’infini ou ombilics du plan, sont les deux points de coordonnées (1 : i : 0) et (1 : −i : 0), où i est l’unité imaginaire vérifiant i² = −1.

La clôture projective d’un cercle réel non dégénéré a une équation de la forme suivante, où a, b et c sont des coefficients réels tels que a² + b² − c > 0, condition qui garantit un rayon strictement positif :

Sur la droite à l’infini, z vaut zéro : les termes dépendant du centre et du rayon disparaissent, et il reste x² + y² = 0. Cette équation a exactement les deux solutions projectives annoncées. Elles sont conjuguées complexes et n’appartiennent donc pas au plan projectif réel. Les similitudes du plan, qui sont conformes et se prolongent projectivement, préservent cet ensemble de deux points ; une application conforme générale n’est pas nécessairement une transformation projective du plan.

Considérons le cercle réel de centre (1 ; −2) et de rayon 3. Ses données sont donc le centre d’abscisse 1, le centre d’ordonnée −2 et le rayon 3. Son équation affine est (x − 1)² + (y + 2)² = 9.

1. En développant, on obtient x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0.

2. Pour homogénéiser l’équation, on introduit la troisième coordonnée z :

3. À l’infini, z = 0. L’équation devient x² + y² = 0, soit y² = −x². Comme x ne peut pas être nul pour une solution projective, on peut choisir x = 1.

4. Il vient y = i ou y = −i. Le cercle passe donc par (1 : i : 0) et (1 : −i : 0). Le contrôle consiste à substituer chaque triplet dans l’équation homogène : avec z = 0 et i² = −1, on obtient bien 1 + i² = 0 dans les deux cas. La figure met en regard le cercle réel et cette vérification à l’infini.

Parmi les coniques réelles non dégénérées ayant des points réels affines, le passage par les deux points cycliques caractérise celles dont la partie quadratique est un multiple non nul de x² + y², c’est-à-dire les cercles réels de rayon strictement positif. Dans le plan réel seul, ces points ne sont pas disponibles ; on emploie alors plutôt une équation euclidienne du cercle.

Dans un calcul en coordonnées homogènes, le geste utile est de poser z = 0. Si les termes liés au centre et au rayon disparaissent et qu’il reste x² + y² = 0, les intersections à l’infini sont bien les points cycliques.

Pour étudier une transformation du plan qui conserve les angles, les points cycliques fournissent un critère dans le cadre projectif. Si la transformation n’est pas projective, il faut employer les outils propres aux applications conformes plutôt que lui attribuer automatiquement une action sur la droite à l’infini.

Point cyclique et centre d’un cercle. Le centre est un point affine réel qui dépend du cercle. Les points cycliques sont complexes, situés à l’infini et communs à tous les cercles : pour le cercle de centre (1 ; −2), aucun des deux n’est le centre.

Point cyclique et point à l’infini d’une droite réelle. Une droite réelle possède un point à l’infini réel, lié à sa direction. Les points cycliques ont des coordonnées non réelles ; aucune direction réelle ne donne (1 : i : 0) ou (1 : −i : 0).

Points cycliques et points d’intersection ordinaires de deux cercles. Deux cercles peuvent avoir zéro, un ou deux points communs réels dans le plan affine. Leurs clôtures projectives complexes partagent en plus les deux points cycliques, indépendamment de leur position relative réelle.

Rester dans le plan réel. Les coordonnées contiennent i, donc les points cycliques n’y existent pas comme points réels. Si un tracé semble les placer sur une droite réelle, il faut le lire comme un schéma de la clôture complexe, non comme une position mesurable.

Oublier l’homogénéisation. Poser directement une « valeur infinie » dans l’équation affine n’a pas de sens. Il faut d’abord introduire z, rendre tous les termes de degré 2, puis imposer z = 0.

Prendre n’importe quelle conique pour un cercle. Une conique dont la partie de degré 2 n’est pas proportionnelle à x² + y² ne passe généralement pas par les deux points cycliques. Par exemple, x² + 2y² = z² donne à l’infini x² + 2y² = 0, donc d’autres points complexes.

Étendre trop largement l’invariance conforme. Une similitude se prolonge en transformation projective et préserve la paire cyclique. Une application conforme générale peut relever d’un autre cadre ; avant de parler de conservation, il faut préciser son prolongement et son action sur le plan projectif complexe.

La géométrie projective explique pourquoi les coordonnées homogènes ajoutent une droite à l’infini et permettent de traiter les intersections sans exception affine.

Le critère des points cycliques ouvre aussi sur l’étude projective des coniques : parmi elles, les cercles se distinguent par leur passage commun en ces deux points complexes.