transformation de Joukovski

Imaginez un cercle tracé sur une feuille souple. Chaque point du cercle est déplacé selon une même règle : les points proches de deux positions particulières sont fortement resserrés, tandis que les autres s'étalent. Le contour rond peut alors devenir une ellipse ou, si le cercle est décentré avec soin, un profil muni d'une pointe comparable au bord de fuite d'une aile.

La transformation de Joukovski réalise ce déplacement dans le plan des nombres complexes. Son intérêt est de relier une géométrie simple, le cercle, à une courbe plus difficile à étudier directement.

On fixe un nombre réel strictement positif appelé a. À tout nombre complexe non nul z, la transformation de Joukovski associe un nombre complexe w par la règle $w=J_a(z)=\frac{1}{2}(z+\frac{a^2}{z})w=J\_a(z)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(z+\backslash frac\{a^2\}\{z\}\backslash right)$. Le point z = 0 est exclu, car la division par z n'y est pas définie.

L'application est holomorphe sur le plan complexe privé de 0. Sa dérivée vaut $J_a^{\mathrm{\prime }}(z)=\frac{1}{2}(1-\frac{a^2}{z^2})J\_a\text{'}(z)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1-\backslash frac\{a^2\}\{z^2\}\backslash right)$. Elle conserve localement les angles là où cette dérivée ne s'annule pas, donc hors des deux points critiques z = a et z = −a. Le terme « transformation conforme » doit ainsi être compris avec cette restriction locale.

L'image d'un cercle dépend de son centre et de son rayon. Un cercle centré en 0 de rayon supérieur à a devient une ellipse. Un cercle décentré qui passe par un point critique peut produire une cuspide ; avec un choix adapté, son image est un profil de Joukovski. La même application sert alors à transporter vers ce profil des calculs effectués autour du cercle.

Prenons le paramètre a = 1 et le cercle centré en 0 de rayon 2. Un point du cercle est décrit par un angle réel t et s'écrit $z=2e^{it}z=2e^\{it\}$. Les données sont donc : a = 1, un rayon égal à 2 et un tour complet obtenu lorsque t varie de 0 à 2π.

1. Remplaçons z dans la règle de Joukovski : $w=\frac{1}{2}(2e^{it}+\frac{1}{2}{e}^{-it})w=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(2e^\{it\}+\backslash frac\{1\}\{2\}e^\{-it\}\backslash right)$.

2. En séparant les parties réelle et imaginaire, on obtient les coordonnées x et y du point image : $x=\frac{5}{4}\cos (t),y=\frac{3}{4}\sin (t)x=\backslash frac\{5\}\{4\}\backslash cos(t),\backslash qquad\; y=\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash sin(t)$.

3. Pour t = 0, π/2, π et 3π/2, les images sont respectivement (5/4, 0), (0, 3/4), (−5/4, 0) et (0, −3/4).

4. Le résultat est l'ellipse centrée en 0, de demi-grand axe 5/4 et de demi-petit axe 3/4. Le contrôle consiste à substituer les coordonnées obtenues dans $\frac{x^2}{(5\mathrm{/}4{)}^2}+\frac{y^2}{(3\mathrm{/}4{)}^2}=1\backslash frac\{x^2\}\{(5/4)^2\}+\backslash frac\{y^2\}\{(3/4)^2\}=1$ : l'égalité vaut pour tout angle t. Cet exemple montre le mécanisme exact sans encore fabriquer un profil d'aile, qui exige un cercle décentré.

Pour construire un profil de Joukovski, on choisit dans le plan complexe un cercle décentré passant par un point critique. On transforme ensuite chacun de ses points. Si le contour recherché n'est pas l'image d'un tel cercle, une autre paramétrisation géométrique est préférable.

En aérodynamique théorique bidimensionnelle, la transformation transporte un écoulement idéal calculé autour d'un cercle vers le profil image. Si la viscosité, la turbulence ou la compressibilité deviennent décisives, ce modèle doit céder la place à des modèles physiques et numériques plus complets.

Pour vérifier un calcul ou un tracé, quelques points remarquables suffisent d'abord : les intersections du cercle avec ses axes et les éventuels points critiques. Un échantillonnage plus fin devient nécessaire lorsque le contour passe près de z = 0, car le terme a²/z y varie rapidement.

Transformation de Joukovski et transformation conforme quelconque. La première est l'application précise $z\mapsto \frac{1}{2}(z+\frac{a^2}{z})z\backslash mapsto\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(z+\backslash frac\{a^2\}\{z\}\backslash right)$. Une autre fonction holomorphe à dérivée non nulle peut aussi être conforme sans suivre cette règle. Par exemple, une rotation complexe conserve les angles, mais ne transforme pas un cercle en profil de Joukovski.

Profil de Joukovski et image de n'importe quel cercle. Toute image circulaire n'a pas la forme d'une aile. Le cercle |z| = 2 avec a = 1 donne l'ellipse de l'exemple. Pour obtenir une pointe au bord de fuite, le cercle choisi doit notamment passer par un point critique de l'application.

Le point z = 0. La transformation n'y est pas définie. Un cercle passant par 0 ne fournit donc pas un contour image ordinaire ; il faut modifier le cercle ou étudier séparément le comportement vers l'infini.

Les points critiques z = a et z = −a. La dérivée s'y annule : la transformation n'y est pas conforme au sens local strict. Lorsqu'un contour passe par l'un de ces points, son image peut présenter une singularité, notamment une cuspide, qu'il ne faut pas interpréter comme un défaut numérique.

Deux antécédents possibles. Les nombres z et a²/z ont la même image. Pour retrouver z à partir de w, il faut résoudre $z^2-2wz+a^2=0z^2-2wz+a^2=0$ puis choisir la branche correspondant au domaine étudié ; une inversion sans ce choix est ambiguë.

Le cercle charnière |z| = a. Son image s'aplatit sur le segment réel [−a, a], car les parties imaginaires se compensent. Il ne faut donc pas attendre un profil fermé non dégénéré lorsque le cercle est centré en 0 et que son rayon vaut exactement a.

fonction holomorphe — Précise la régularité complexe qui permet d'étudier la conservation locale des angles.

Des nombres pas si complexes — Reprend les bases du plan complexe sur lequel agit la transformation.

ellipse — Décrit précisément la courbe obtenue dans l'exemple du cercle centré.

projection conforme — Offre un autre contexte où la conservation locale des angles guide une transformation géométrique.