profil d'aile

Imaginez un cercle dessiné sur une feuille souple. Une transformation déplace chacun de ses points : le cercle s'aplatit, son avant s'arrondit et son arrière peut se resserrer en pointe. Le contour obtenu ressemble alors à la coupe d'une aile.

Cette courbe est un profil de Joukovski. Le détour par le cercle est utile parce qu'un écoulement autour d'un cercle se décrit plus simplement. La même transformation transporte ensuite cette description vers le profil d'aile.

Un profil de Joukovski est l'image d'un cercle du plan complexe par une application rationnelle. Le nombre complexe de départ est noté z, son image est notée w et le paramètre réel est noté a. Pour z non nul, la transformation s'écrit :

La position et le rayon du cercle déterminent la forme obtenue. Si le cercle passe par le point z = a, ce point est critique et son image w = a peut former la pointe du bord de fuite. Un cercle décalé verticalement donne en général un profil cambré ; un cercle symétrique par rapport à l'axe réel donne un profil symétrique.

La transformation est conforme là où sa dérivée ne s'annule pas. Pour représenter sans repliement tout l'extérieur du disque, le cercle doit notamment laisser les points critiques ±a hors de l'ouvert extérieur ; un point critique peut se trouver sur le bord pour créer une pointe. Sous ces conditions, le problème d'écoulement posé autour du cercle peut être transporté vers l'extérieur du profil. Cette construction, théorisée par Nicolaï Joukovski (1847-1921), est un modèle mathématique de section d'aile, et non l'aile tridimensionnelle elle-même.

Prenons le paramètre réel a = 1. Le cercle a pour centre le nombre réel −0,2 et pour rayon 1,2. Il passe donc par z = 1, tandis que le point critique z = −1 se trouve à l'intérieur. Trois points du cercle serviront de repères : 1, −1,4 et −0,2 + 1,2i, où i est l'unité imaginaire.

1. Appliquez la transformation au point droit : $J(1)=\frac{1}{2}(1+1)=1J(1)=\backslash frac\{1\}\{2\}(1+1)=1$. Ce point devient la pointe arrière du profil.

2. Pour le point gauche, le calcul donne $J(-\mathrm{1,4})=\frac{1}{2}(-\mathrm{1,4}-\frac{1}{\mathrm{1,4}})=-\frac{37}{35}\approx -\mathrm{1,057}J(-1\{,\}4)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(-1\{,\}4-\backslash frac\{1\}\{1\{,\}4\}\backslash right)=-\backslash frac\{37\}\{35\}\backslash approx-1\{,\}057$. Il fournit le bord avant arrondi.

3. Le point supérieur devient $J(-\mathrm{0,2}+\mathrm{1,2}i)=-\frac{31}{185}+\frac{36}{185}i\approx -\mathrm{0,168}+\mathrm{0,195}iJ(-0\{,\}2+1\{,\}2i)=-\backslash frac\{31\}\{185\}+\backslash frac\{36\}\{185\}i\backslash approx-0\{,\}168+0\{,\}195i$. Son conjugué fournit le point inférieur symétrique.

Le contour transformé est donc symétrique, arrondi à l'avant et pointu en 1. Pour contrôler le calcul, remplacez successivement chaque valeur de z dans la même formule et vérifiez que les deux points conjugués ont des parties imaginaires opposées.

Pour construire un profil mathématique, on choisit le cercle puis on transforme une suite de points de son contour. La position du centre règle la symétrie ou la cambrure ; le passage par un point critique produit une pointe.

Pour étudier un écoulement plan idéalisé, on résout d'abord le problème autour du cercle, puis on transporte le champ par la transformation. Si la géométrie réelle est tridimensionnelle ou visqueuse, un modèle plus complet est préférable.

Pour contrôler un tracé numérique, on vérifie les images des points critiques et quelques points conjugués. Une cassure inattendue ou une perte de symétrie signale souvent un cercle mal paramétré ou une inversion erronée.

Profil de Joukovski et aile physique. Le premier est une courbe plane ; la seconde est un objet tridimensionnel doté d'une envergure. Une coupe idéalisée relève du profil, tandis qu'une variation le long de l'envergure exige un modèle d'aile.

Transformation et profil. La transformation de Joukovski est la règle qui associe w à z ; le profil est l'image d'un cercle particulier. Changer le cercle sans changer la formule produit donc une autre courbe.

Conforme et isométrique. Une application conforme conserve localement les angles aux points réguliers, mais pas les longueurs. Deux petits segments perpendiculaires gardent leur angle droit après transformation, sans conserver nécessairement leur taille.

Cercle centré en 0. Si son rayon vaut exactement |a|, ses deux points ±a sont critiques. Son image se réduit au segment réel [−|a|, |a|], parcouru deux fois : ce n'est pas un profil entourant une aire. Il faut décentrer le cercle ou modifier son rayon.

Cercle ne passant pas par un point critique. L'image peut rester une courbe lisse sans bord de fuite pointu. Le symptôme est un contour arrondi aux deux extrémités ; il faut imposer le passage par a ou −a si une pointe est recherchée.

Point critique dans l'extérieur. La dérivée de la transformation s'annule en z = ±a. Si l'un de ces points appartient à l'ouvert extérieur du disque, la conformité y échoue et la représentation globale peut se replier. Il faut choisir un cercle qui enferme les points critiques non placés sur son bord.

Portée du modèle. La transformation traite une géométrie plane idéalisée. Elle ne suffit pas, à elle seule, à décrire les effets tridimensionnels ou tous les effets visqueux ; ces situations demandent un modèle d'écoulement adapté.

La transformation de Joukovski permet d'examiner la formule elle-même, ses points critiques et la manière dont elle transporte la géométrie du cercle.

Un prolongement naturel consiste à faire varier le centre et le rayon du cercle. On observe alors séparément l'apparition d'une pointe, l'épaisseur du profil et sa cambrure, tout en contrôlant la position des points critiques.