système harmonique

Sur une droite, placez A en 0, B en 6 et C en 2. Un quatrième point D en −6 équilibre alors deux rapports de distances orientées d'une manière qui subsiste lorsqu'on projette la figure. Les quatre points forment une division harmonique. En reliant ces points à un point extérieur O, on obtient quatre droites concourantes : un faisceau harmonique.

Le même intitulé se rencontre en musique, où il décrit l'organisation des harmonies. La suite se concentre sur le sens mathématique : les deux usages partagent un nom, mais pas une définition.

En géométrie projective, un système harmonique est une configuration ordonnée de quatre points distincts A, B, C et D d'une même droite, ou de quatre droites distinctes passant par un même point. Pour les points, on parle aussi de division harmonique ; C et D sont alors conjugués harmoniques par rapport à A et B.

Dans une coordonnée affine, les lettres minuscules a, b, c et d désignent les coordonnées respectives des quatre points. Avec la convention suivante, leur rapport anharmonique vaut :La configuration est harmonique lorsque ce rapport vaut −1. Cette valeur ne dépend pas de la coordonnée affine choisie et reste inchangée par une transformation projective, mais elle dépend de l'ordre donné aux quatre points.

Pour quatre droites concourantes, on choisit une droite qui ne passe pas par leur point commun et on calcule le rapport anharmonique des quatre intersections. Le résultat ne dépend pas de la transversale choisie. Le terme musical, lui, concerne l'organisation des harmonies dans une composition ou un langage musical ; il ne met pas en jeu ce rapport projectif.

Une division harmonique comporte quatre points distincts, une droite qui les porte et un ordre de lecture : A et B forment la paire de référence, tandis que C et D forment la paire conjuguée. Une coordonnée permet de calculer le rapport anharmonique, sans faire partie de l'objet lui-même. Le choix de la coordonnée peut changer les nombres a, b, c et d ; il ne change pas la valeur du rapport. En revanche, permuter les rôles des points peut changer cette valeur.

Dans un faisceau harmonique, le support est un point O et les quatre éléments sont des droites distinctes passant par O. Leur caractère harmonique dépend des quatre directions prises ensemble. L'échelle, la couleur et la longueur visible des traits ne le définissent pas. Ces données suffisent à construire une section par une transversale et à y vérifier le rapport −1.

Données. Sur une droite orientée, le point A a pour coordonnée 0, le point B pour coordonnée 6, le point C pour coordonnée 2 et le point D pour coordonnée −6. On veut vérifier que C et D sont conjugués harmoniques par rapport à A et B.

1. Avec les coordonnées a, b, c et d de A, B, C et D, on applique la convention du rapport anharmonique :

2. On remplace chaque lettre par sa donnée, puis on effectue les quatre soustractions et les deux produits :La droite orientée matérialise l'ordre D, A, C, B et leurs espacements exacts.

3. Le rapport vaut exactement −1 : les quatre points forment donc une division harmonique. Si un point O extérieur à la droite est relié à A, B, C et D, les quatre droites obtenues forment un faisceau harmonique.

4. Contrôle. Les deux produits valent −24 et 24. Leurs signes opposés donnent −1, tandis que leurs valeurs absolues égales excluent une simple approximation.

Pour compléter trois points alignés A, B et C, on cherche le conjugué harmonique D. Si des coordonnées sont disponibles, le calcul du rapport anharmonique donne D ; une construction projective est préférable lorsque seule une règle non graduée est utilisée.

Pour comparer une configuration avant et après une mise en perspective, on contrôle le rapport anharmonique. Les longueurs ordinaires conviennent à une transformation qui les conserve ; le rapport anharmonique est le bon critère lorsque la projection déforme ces longueurs.

Pour quatre droites concourantes, on les coupe par une transversale qui évite leur point commun, puis on travaille sur les quatre intersections. Mesurer directement les angles serait un autre choix : il n'est pas adapté quand seule la structure projective doit être conservée.

Système harmonique musical et système harmonique projectif. Le premier organise des harmonies dans une composition ou un langage musical ; le second porte sur quatre points alignés ou quatre droites concourantes. Une progression d'accords relève donc du sens musical, pas du rapport anharmonique.

Division harmonique et partage en longueurs égales. Une division est harmonique lorsque le rapport anharmonique ordonné vaut −1, non lorsque les intervalles visibles semblent identiques. Dans l'exemple A=0, B=6, C=2, D=−6, les espacements sont inégaux mais la division est harmonique.

L'ordre est essentiel. Les mêmes quatre points peuvent donner d'autres valeurs du rapport anharmonique lorsqu'on change leurs rôles. Le symptôme est un calcul différent de −1 malgré une figure inchangée ; il faut annoncer l'ordre A, B, C, D et conserver la même convention.

Les coïncidences sont dégénérées. Si deux points qui interviennent dans un dénominateur coïncident, la formule affine comporte une division par zéro. Il faut revenir à la droite projective et vérifier que les quatre éléments requis sont distincts.

Le milieu conduit à l'infini. Si C est le milieu de A et B dans une carte affine, son conjugué harmonique D est le point à l'infini de la droite. Chercher une coordonnée réelle finie échoue ; il faut employer la droite projective complétée.

Le dessin ne suffit pas. Une perspective peut rapprocher ou éloigner visuellement les points tout en conservant le rapport anharmonique. Si l'apparence suggère une autre répartition, il faut calculer le rapport avec des coordonnées orientées au lieu de comparer les longueurs à l'œil.

La fiche division harmonique approfondit la configuration de quatre points alignés et le rôle des deux paires.

La fiche faisceau harmonique transpose la relation à quatre droites concourantes et à leurs sections.

La fiche Rapport anharmonique détaille l'invariant calculé et l'effet de l'ordre des quatre éléments.

La fiche géométrie projective replace ces configurations dans le cadre où les projections préservent les incidences.