méthode de Viète

Prenons x² − 5x + 6 = 0. Au lieu d'essayer des nombres au hasard, on lit ses trois coefficients : 1, −5 et 6. Ils donnent un nombre clé, le discriminant, égal à 1. Comme ce nombre est positif, l'équation possède deux solutions réelles distinctes.

La démarche associée à Viète transforme ainsi les coefficients en informations sur les solutions. Pour le second degré, elle conduit ici à 2 et 3. Une idée analogue organise aussi l'étude d'une équation réduite du troisième degré, avec un discriminant adapté.

La méthode de Viète regroupe des procédés algébriques qui exploitent les coefficients d'une équation pour déterminer ou caractériser ses racines. Pour une équation du second degré, a désigne le coefficient de x², b celui de x et c le terme constant, avec a non nul. Son discriminant est le nombre Δ défini par $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac\backslash Delta=b^2-4ac$. Le signe de Δ indique s'il existe deux racines réelles distinctes, une racine réelle double ou aucune racine réelle.

Pour l'équation réduite du troisième degré x³ + px + q = 0, p désigne le coefficient de x et q le terme constant. Le discriminant standard est ${\mathrm{\Delta }}_3=-4p^3-27q^2\backslash Delta\_3=-4p^3-27q^2$. S'il est positif, l'équation a trois racines réelles distinctes ; s'il est nul, elle a une racine multiple ; s'il est négatif, elle a une seule racine réelle et deux racines complexes non réelles conjuguées.

Ces deux cas ne partagent donc ni la même formule ni la même procédure de calcul. Leur point commun est l'organisation systématique du calcul algébrique : une expression construite avec les coefficients renseigne d'abord sur la nature des racines, puis une formule ou une transformation adaptée permet de les obtenir.

Pour résoudre ax² + bx + c = 0 dans les nombres réels, avec a non nul, on calcule d'abord Δ = b² − 4ac. Si Δ est positif, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\text{et}{x}_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}x\_1=\backslash frac\{-b-\backslash sqrt\{\backslash Delta\}\}\{2a\}\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; x\_2=\backslash frac\{-b+\backslash sqrt\{\backslash Delta\}\}\{2a\}$. Si Δ est nul, l'unique solution réelle, comptée deux fois, est x = −b/(2a). Si Δ est négatif, il n'existe aucune solution réelle.

Le critère du second degré s'applique à une équation mise sous la forme ax² + bx + c = 0, avec des coefficients réels et a ≠ 0. Il faut donc réduire les deux membres au même côté et regrouper les puissances de x avant de lire a, b et c. Le signe du discriminant décrit alors les solutions dans les nombres réels.

Si a = 0, l'équation n'est plus du second degré : par exemple, 0x² + 2x − 4 = 0 se résout comme une équation du premier degré et donne x = 2. Pour un troisième degré général, il faut d'abord le ramener à une forme réduite avant d'utiliser le discriminant correspondant ; la formule b² − 4ac ne s'y applique pas.

Résolvons x² − 5x + 6 = 0. Les données sont le coefficient a = 1 devant x², le coefficient b = −5 devant x et le terme constant c = 6.

1. Calculons le discriminant : Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.

2. Comme Δ = 1 est positif, l'équation possède deux solutions réelles distinctes. La chaîne complète du calcul, des coefficients jusqu'aux deux racines, est représentée dans la figure.

3. Appliquons les deux formules : x₁ = [5 − √1]/2 = 2 et x₂ = [5 + √1]/2 = 3.

4. Contrôlons chaque résultat dans l'équation de départ : 2² − 5 × 2 + 6 = 0 et 3² − 5 × 3 + 6 = 0. Les deux valeurs conviennent. Leur somme vaut aussi 5 et leur produit 6, conformément aux coefficients de x² − 5x + 6.

Pour une équation du second degré déjà développée, le discriminant est le réflexe le plus direct : il annonce le nombre de solutions réelles avant même leur calcul. Dans x² − 5x + 6 = 0, Δ = 1 signale immédiatement deux racines distinctes.

Lorsque les coefficients entiers se prêtent à une factorisation visible, chercher deux nombres de somme 5 et de produit 6 est plus rapide : 2 et 3 donnent (x − 2)(x − 3) = 0. Le discriminant reste utile pour confirmer que les deux racines sont réelles.

Si l'équation n'est pas égale à zéro ou n'est pas réduite, on commence par la réorganiser. Le choix de la méthode vient ensuite, selon le degré réel de l'équation et la forme observable de ses coefficients.

La méthode de Viète ne se confond pas avec les relations de Viète entre racines et coefficients. Pour ax² + bx + c = 0, ces relations donnent la somme −b/a et le produit c/a des racines lorsqu'elles existent. Dans l'exemple, elles vérifient 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6, mais le discriminant établit d'abord la nature des racines.

Le discriminant du second degré ne se confond pas avec celui du troisième degré réduit. Le premier est b² − 4ac ; le second est −4p³ − 27q². Substituer p et q dans la formule quadratique donnerait un critère sans rapport avec les racines du polynôme cubique.

Le cas charnière Δ = 0 ne donne pas deux racines réelles distinctes. Par exemple, x² − 4x + 4 = 0 possède la racine double 2 : écrire deux solutions différentes serait une erreur.

Quand Δ < 0, la conclusion « aucune solution » n'est vraie que dans les nombres réels. Dans les nombres complexes, l'équation du second degré possède encore deux racines, comptées avec leur multiplicité ; il faut donc annoncer l'ensemble de nombres choisi.

Une lecture erronée des coefficients fausse tout le calcul. Dans x² − 5x + 6, le coefficient b vaut −5 et non 5. Le contrôle final par substitution, comme pour les racines 2 et 3, repère ce type d'erreur de signe.

Pour le troisième degré réduit, l'expression standard à employer est −4p³ − 27q². Une expression où 27 multiplie p³ et 4 multiplie q² ne représente pas ce discriminant ; il faut revenir à la formule standard avant de conclure sur les racines.

L'article La nouvelle algèbre de Monsieur Viète replace ces procédés dans le projet plus large de systématisation du calcul algébrique.

La fiche Équation du second degré approfondit la forme quadratique, la lecture du discriminant et le calcul de ses racines.