Histoire et cultureNotion · Glossaire
Ibn Turk
ʿAbd al-Ḥamīd ibn Turk est un mathématicien arabophone du IXe siècle, associé à l'histoire ancienne de l'algèbre ; sa biographie est très lacunaire et les sources le situent à Bagdad, à une époque contemporaine ou légèrement antérieure à Al-Khwārizmī. Un fragment de son œuvre traite des équations du second degré et rapporte qu'un discriminant négatif exclut toute solution réelle. La priorité de ce résultat par rapport au traité d'Al-Khwārizmī reste indécidable au vu des sources.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Ibn Turk avec les réserves imposées par les sources.
- Comprendre pourquoi un discriminant négatif exclut les solutions réelles.
- Vérifier le critère sur x² + 1 = 0.
En clair
Imaginez une parabole qui reste entièrement au-dessus de l'axe horizontal. Elle représente une équation du second degré comme x² + 1 = 0 : la courbe y = x² + 1 ne rencontre jamais cet axe. Il n'existe donc aucun nombre réel qui rende l'égalité vraie. Ibn Turk est l'un des savants auxquels on attribue une formulation ancienne et explicite de ce constat, dans un fragment consacré aux équations du second degré.
Définition
Ibn Turk est un mathématicien arabophone du IXe siècle, associé à l'histoire ancienne de l'algèbre. Les informations biographiques disponibles sont très limitées ; la source le situe à Bagdad, à une époque contemporaine ou légèrement antérieure à celle d'Al-Khwārizmī.
Le seul fragment retrouvé de son œuvre traite des équations du second degré. Pour une équation écrite , avec a,b,c réels et a non nul, le discriminant est le nombre . Lorsque Δ est négatif, l'équation n'a pas de solution réelle : sa courbe ne coupe pas l'axe des abscisses. Cette formulation concerne les solutions dans les nombres réels ; elle ne signifie pas que l'équation est dépourvue de solutions dans tous les systèmes de nombres.
Le texte attribué à Ibn Turk présenterait ce résultat alors qu'il serait absent du traité correspondant d'Al-Khwārizmī. Cette différence a nourri une controverse sur l'antériorité et la rigueur relative des deux œuvres, que l'état des sources ne permet pas de trancher définitivement.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'équation x² + 1 = 0. Elle est déjà sous la forme ax² + bx + c = 0 : le coefficient a de x² vaut 1, le coefficient b de x vaut 0 et le terme constant c vaut 1.
Le discriminant Δ se calcule avec . En remplaçant les coefficients, on obtient .
Comme −4 est négatif, aucune valeur réelle de x ne vérifie x² + 1 = 0. La lecture graphique donne le même verdict : la courbe y = x² + 1 a pour sommet le point (0 ; 1) et reste au-dessus de l'axe des abscisses.
En pratique
Pour étudier une équation du second degré ax² + bx + c = 0 avec a,b,c réels et a non nul, on commence par identifier ses trois coefficients, puis on calcule le discriminant. Un discriminant négatif permet de conclure immédiatement à l'absence de solution réelle.
Dans l'exemple , le calcul suffit : il n'est pas nécessaire de chercher une valeur réelle de x. La parabole associée confirme visuellement cette conclusion.
À ne pas confondre
Il ne faut pas confondre l'absence de solution réelle avec l'absence de solution dans tous les nombres. L'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution parmi les nombres réels, mais elle possède des solutions dans les nombres complexes, qui ne sont pas le domaine étudié par le résultat présenté ici.
Il ne faut pas non plus confondre Ibn Turk et Al-Khwārizmī. Les deux savants sont liés par la proximité de leurs travaux sur les équations du second degré, mais les sources disponibles ne permettent pas d'établir définitivement lequel a formulé le résultat en premier. Le glossaire consacré à Al-Khwarizmi relève de cette autre entrée historique.
Limites et pièges
Le critère du discriminant négatif s'applique aux équations du second degré, dont le coefficient de x² est non nul. Si ce coefficient vaut zéro, l'équation n'est plus du second degré et le discriminant ne doit pas être utilisé comme s'il s'agissait du même problème.
Pour une équation ax² + bx + c = 0 avec a,b,c réels et a non nul, le signe du discriminant distingue les solutions réelles : un discriminant négatif signifie aucune, un discriminant nul signifie une solution réelle double et un discriminant positif signifie deux solutions réelles distinctes. Ces trois cas décrivent une équation moderne ; ils ne permettent pas, à eux seuls, de reconstituer les notations ou les méthodes employées par Ibn Turk.
Enfin, l'expression « plus rigoureux » doit rester attribuée à certains historiens. Le fragment conservé et l'absence du résultat dans le traité correspondant d'Al-Khwārizmī, tels qu'ils sont rapportés par la source, ne suffisent pas à résoudre la controverse d'antériorité.
Pour aller plus loin
Pour une équation du second degré ax² + bx + c = 0 à coefficients réels, avec a non nul, le discriminant fournit aujourd'hui un pont entre deux lectures. Par le calcul, son signe classe le nombre de solutions réelles ; par la géométrie, il indique combien de fois la parabole associée rencontre l'axe des abscisses. Dans l'exemple x² + 1 = 0, le discriminant −4 et l'absence d'intersection expriment le même fait.
L'intérêt historique d'Ibn Turk tient donc autant au résultat rapporté qu'à la question de sa transmission. Un fragment isolé et des biographies lacunaires invitent à distinguer ce que le texte établit, ce que les historiens en déduisent et ce que les sources ne permettent pas encore de départager.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres