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Bicarrée (équation)
Une équation bicarrée est une équation polynomiale de degré 4 de la forme , qui ne comporte que des puissances paires de l'inconnue. On la résout par substitution en posant , ce qui la transforme en équation du second degré . Si cette équation en u admet les solutions et , on en déduit les solutions de l'équation bicarrée en résolvant et , ce qui peut donner jusqu'à quatre solutions réelles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la forme ax⁴ + bx² + c = 0 et la condition a non nul.
- Effectuer la substitution u = x² et résoudre le trinôme obtenu.
- Revenir de chaque valeur de u aux solutions réelles de l’équation initiale.
- Éviter les erreurs liées à une valeur de u négative, nulle ou multiple.
En clair
Prenez l’équation x4 − 5x2 + 4 = 0. Les puissances de x y sont toutes paires : on voit x4, x2 et une constante, mais ni x ni x3.
Le bon geste consiste à considérer x2 comme une seule inconnue. En la nommant u, x4 devient u2. L’équation se ramène alors au second degré, puis chaque valeur positive de u redonne deux valeurs opposées de x.
Définition
Une équation bicarrée est une équation polynomiale de degré 4 dans laquelle l’inconnue, notée x, n’apparaît qu’aux puissances 4 et 2. Les nombres a, b et c sont ses coefficients, avec a non nul. Sa forme générale est . Les coefficients b ou c peuvent être nuls sans faire perdre à l’équation son caractère bicarré.
On introduit une inconnue auxiliaire u égale à x2. Comme x4 est le carré de x2, l’équation devient . Cette équation du second degré fournit au plus deux valeurs de u.
Pour revenir à x dans les nombres réels, chaque valeur strictement positive de u donne deux solutions opposées, sa racine carrée et son opposé. La valeur u = 0 donne seulement x = 0, tandis qu’une valeur négative ne donne aucune solution réelle. L’équation bicarrée peut donc avoir jusqu’à quatre solutions réelles.
De quoi c'est fait
La structure repose sur trois termes. Le terme ax4, dont le coefficient a est non nul, fixe le degré 4. Le terme bx2 porte la puissance intermédiaire. Le terme constant c ne dépend pas de x. L’absence de termes en x3 et en x est essentielle : elle rend possible la substitution u = x2.
Avec cette substitution, ax4 devient au2, bx2 devient bu et c reste inchangé. Les trois coefficients sont donc conservés dans le trinôme auxiliaire. Les seules puissances paires expliquent aussi que remplacer x par −x ne change pas le membre de gauche : les solutions non nulles apparaissent par paires opposées.
Un exemple, pas à pas
Résolvons x4 − 5x2 + 4 = 0 dans les nombres réels. Les données sont les coefficients a = 1, b = −5 et c = 4.
1. Posons u = x2. L’équation devient u2 − 5u + 4 = 0.
2. Factorisons le trinôme : . Ses solutions sont donc u = 1 et u = 4.
3. Revenons à l’inconnue x. L’égalité x2 = 1 donne x = −1 ou x = 1. L’égalité x2 = 4 donne x = −2 ou x = 2.
4. Les quatre solutions réelles sont −2, −1, 1 et 2. Pour contrôler, chacune annule le produit . Le schéma relie les deux valeurs de u aux quatre valeurs de x qui leur correspondent.
En pratique
Devant une équation de degré 4, on repère d’abord ses exposants. Si seuls x4, x2 et le terme constant sont présents, la substitution u = x2 évite une méthode générale pour les équations quartiques.
Après avoir résolu le trinôme en u, on trie ses solutions selon leur signe. Une valeur positive donne deux racines réelles opposées, zéro n’en donne qu’une, et une valeur négative n’en donne aucune dans les nombres réels.
La vérification la plus directe consiste à remplacer x par chaque valeur obtenue dans l’équation initiale. Si un terme en x ou en x3 apparaît, la substitution u = x2 ne suffit plus et il faut choisir une autre méthode.
À ne pas confondre
Une équation bicarrée n’est pas n’importe quelle équation de degré 4. Par exemple, x4 + x − 2 = 0 est quartique, mais pas bicarrée, car elle contient un terme en x. Le critère est l’absence de puissances impaires.
Elle n’est pas non plus une équation du second degré en x : son degré est 4. C’est seulement après avoir posé u = x2 que l’on obtient une équation du second degré, cette fois en u.
Limites et pièges
Si a = 0, le terme de degré 4 disparaît. L’équation n’est plus bicarrée au sens strict : elle devient au plus une équation du second degré en x. Il faut alors la résoudre directement, sans introduire u.
Une solution du trinôme auxiliaire n’est pas automatiquement une solution réelle pour x. Le seuil est u = 0 : si u est négatif, l’équation x2 = u n’a pas de solution réelle ; si u vaut zéro, elle n’en donne qu’une.
Le comptage « jusqu’à quatre » ne signifie donc pas « toujours quatre ». Une racine double du trinôme en u ou la valeur u = 0 réduit le nombre de valeurs distinctes de x. Il faut résoudre chaque égalité x2 = u séparément et éliminer les valeurs impossibles dans le domaine choisi.
Pour aller plus loin
Équation du second degré — Pour approfondir le calcul du discriminant et la résolution du trinôme obtenu après la substitution.
Fonction paire — Pour relier les puissances paires à la symétrie et aux solutions opposées d’une équation bicarrée.
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