Auxiliaire (inconnue)

Une équation où reviennent x⁴ et x² peut cacher une équation plus familière. On donne provisoirement un autre nom à x² : la lettre u. Cette nouvelle lettre est l’inconnue auxiliaire.

Le calcul devient plus court, mais u n’est qu’un détour. Après avoir trouvé ses valeurs, il faut revenir à x et vérifier quelles solutions conviennent au problème initial.

Une inconnue auxiliaire est une variable intermédiaire ajoutée à une résolution pour remplacer une expression répétée, décomposer une relation ou reformuler un problème. Elle n’est pas la quantité cherchée au départ. Une relation explicite doit la relier aux inconnues initiales et permettre de traduire ensuite les résultats obtenus. Dans une équation bicarrée dont l’inconnue initiale est x, on peut nommer u le carré de x : $u=x^{2}u=x^2$.

Le changement n’est valable qu’en conservant les contraintes qu’impose cette relation. Sur les nombres réels, u doit être positif ou nul lorsque u est le carré de x. Une valeur positive de u fournit généralement deux valeurs opposées de x, tandis que u = 0 n’en fournit qu’une. Une valeur négative ne donne aucun x réel. Un procédé analogue, mais distinct, apparaît dans une récurrence : on formule une proposition plus forte ou on introduit un invariant auxiliaire, puis on démontre ce nouvel énoncé. Dans une équation différentielle d’ordre n, des variables représentant la fonction et ses dérivées permettent de la réécrire comme un système de n équations du premier ordre.

Résolvons sur les nombres réels une équation dont l’inconnue est x.
Données : les puissances présentes sont x⁴ et x² ; l’expression répétée est donc x².

1. Posons u égal au carré de x. L’équation devient une équation du second degré en u.
2. Factorisons le membre de gauche. Les deux valeurs possibles de l’inconnue auxiliaire sont 1 et 4.

3. Revenons à x. Le carré de x vaut 1 ou 4, donc les solutions réelles sont les quatre nombres suivants.

Contrôle : pour x = 2, le membre de gauche vaut 16 − 20 + 4, donc 0. Comme l’équation ne contient que des puissances paires de x, −2 convient aussi ; le même contrôle donne 0 pour 1 et −1.

En algèbre, une substitution est utile lorsqu’une même expression revient comme un bloc, par exemple x² dans une équation bicarrée. Si les puissances ne suivent pas ce motif, une factorisation directe ou une autre substitution est préférable.

Dans une démonstration par récurrence, l’énoncé visé peut être trop faible pour passer d’un rang au suivant. On démontre alors une proposition plus forte, éventuellement en introduisant un invariant auxiliaire, et c’est ce nouvel énoncé qui doit être établi par récurrence ; si l’étape se ferme déjà, ce renforcement est inutile.

Pour une équation différentielle d’ordre supérieur, on introduit des inconnues représentant la fonction et certaines de ses dérivées afin d’obtenir un système du premier ordre. Une intégration directe reste plus courte lorsqu’une primitive ou une première intégrale est immédiatement disponible.

Inconnue principale. Elle représente la quantité demandée par le problème initial. Dans l’équation bicarrée proposée, x est l’inconnue principale et u est éliminée après le calcul : trouver seulement u = 1 ou u = 4 ne termine pas la résolution.

Variable libre d’un système échelonné. Elle n’est associée à aucun pivot et sert à paramétrer l’ensemble des solutions. Certaines conventions l’appellent « inconnue auxiliaire », mais elle peut rester dans la réponse finale, contrairement à la variable temporaire d’une substitution.

Oublier le domaine. Avec u = x² sur les réels, une racine négative de l’équation en u ne correspond à aucune valeur réelle de x. Il faut écarter cette valeur au moment du retour à l’inconnue initiale.

Perdre ou ajouter des solutions. La transformation choisie doit être réversible sous les conditions annoncées. Une opération comme élever au carré peut créer des candidats étrangers ; chaque candidat doit donc être testé dans l’équation initiale.

S’arrêter à l’étape auxiliaire. Les valeurs de u ne répondent pas encore à une question posée sur x. Pour u = 4, le retour donne deux solutions réelles, x = 2 et x = −2, et non une seule.

La fiche Bicarrée (équation) approfondit la famille d’équations où la substitution u = x² ramène le calcul au second degré.