formule de Cardan

Prenons l'équation x³ − 3x − 2 = 0. Essayer quelques nombres révèle que 2 convient, mais cela ne donne pas encore une méthode générale ni les autres racines. Les formules de Cardan transforment les deux coefficients −3 et −2 en deux nombres auxiliaires, puis combinent leurs racines cubiques.

Un discriminant indique auparavant le scénario : une seule racine réelle, une racine répétée, ou trois racines réelles distinctes. Le calcul peut passer par des nombres complexes même lorsque toutes les réponses sont réelles.

Les formules de Cardan résolvent une équation cubique déjà ramenée à la forme déprimée x³ + px + q = 0. Le coefficient p multiplie x et q est le terme constant ; le terme en x² est absent. On calcule le discriminant $\mathrm{\Delta }=q^2+\frac{4}{27}{p}^3\backslash Delta=q^2+\backslash frac\{4\}\{27\}p^3$, puis deux quantités u et v dont les cubes vérifient $u^3=\frac{-q+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2},v^3=\frac{-q-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}u^3=\backslash frac\{-q+\backslash sqrt\{\backslash Delta\}\}\{2\},\backslash qquad\; v^3=\backslash frac\{-q-\backslash sqrt\{\backslash Delta\}\}\{2\}$.

Les racines cubiques ont plusieurs valeurs complexes : u et v ne se choisissent donc pas indépendamment. Elles doivent satisfaire uv = −p/3. Si j désigne la racine cubique primitive de l'unité $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}j=e^\{2i\backslash pi/3\}$, les trois solutions sont $x_1=u+v,x_2=ju+j^{2}v,x_3=j^{2}u+jvx\_1=u+v,\backslash qquad\; x\_2=ju+j^2v,\backslash qquad\; x\_3=j^2u+jv$.

Lorsque p et q sont réels, le signe de Δ classe les racines : Δ > 0 donne une racine réelle et deux complexes conjuguées ; Δ = 0 donne des racines réelles dont au moins deux coïncident ; Δ < 0 donne trois racines réelles distinctes. Dans ce dernier cas, appelé cas irréductible, les expressions par radicaux font intervenir des nombres complexes. Pour des coefficients complexes, les trois solutions précédentes restent pertinentes, mais les comparaisons Δ > 0 et Δ < 0 n'ont pas de sens.

Pour l'équation x³ + px + q = 0, calculez Δ = q² + (4/27)p³. Choisissez ensuite des racines cubiques u et v des nombres (−q + √Δ)/2 et (−q − √Δ)/2, en imposant uv = −p/3. Alors, avec j = e^2iπ/3, les solutions sont :

Pour des coefficients réels, le signe de Δ fournit en plus le nombre de racines réelles : une si Δ > 0, trois distinctes si Δ < 0, et des racines confondues si Δ = 0.

La méthode s'applique directement lorsque l'équation est écrite sous la forme déprimée x³ + px + q = 0. Il faut connaître p et q, accepter les racines carrées et cubiques complexes, puis accorder les branches de u et v par la condition uv = −p/3. Pour interpréter le signe de Δ et compter les racines réelles, p et q doivent être réels.

Une équation qui contient encore un terme en x² n'est pas encore dans le cadre annoncé : il faut d'abord la ramener à une forme déprimée. Autre contre-cas, si p ou q est complexe, écrire Δ < 0 ou Δ > 0 ne fournit aucun classement ; on utilise alors directement les trois combinaisons de u, v et j, sans parler du signe du discriminant.

Résolvons x³ − 3x − 2 = 0. Les données sont p = −3 et q = −2 ; les coefficients sont réels et l'équation est déjà déprimée.

1. Calculons le discriminant : Δ = (−2)² + (4/27)(−3)³ = 4 − 4 = 0. Il faut donc attendre une racine double.

2. Les deux radicandes valent (−q ± √Δ)/2 = (2 ± 0)/2 = 1. Nous choisissons u = 1 et v = 1 ; la contrainte est satisfaite, car uv = 1 = −p/3.

3. La première solution vaut u + v = 2. Les deux autres valent j + j² = −1 : la racine −1 est double. Le schéma réunit les données et ces deux résultats sans masquer leur multiplicité.

4. Contrôlons par factorisation : $x^3-3x-2=(x-2)(x+1{)}^{2}x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2$. Le facteur x − 2 confirme la racine simple 2, et le carré (x + 1)² confirme la racine double −1.

Pour résoudre exactement une cubique déprimée, commencez par calculer Δ. Si Δ = 0, les radicaux se simplifient souvent et les racines répétées deviennent visibles ; une factorisation directe reste préférable lorsqu'elle se repère immédiatement.

Si Δ > 0 avec des coefficients réels, Cardan donne directement l'unique racine réelle. Pour obtenir seulement une valeur décimale, une méthode numérique peut être plus courte ; les formules gardent l'avantage lorsqu'une expression exacte est recherchée.

Si Δ < 0, ne rejetez pas le calcul parce qu'une racine carrée complexe apparaît. C'est précisément le cas irréductible : les trois résultats finaux sont réels, mais les radicaux de Cardan passent par le plan complexe.

Formules de Cardan et discriminant. Le discriminant Δ classe la nature des racines lorsque les coefficients sont réels ; il ne calcule pas à lui seul leurs valeurs. Les quantités u et v, puis leurs trois combinaisons avec j, fournissent les solutions. Dans l'exemple, Δ = 0 annonce une répétition, tandis que u = v = 1 donne effectivement 2 et −1.

Résoudre et mettre sous forme déprimée. Supprimer le terme quadratique prépare l'équation ; appliquer Cardan exploite ensuite les coefficients p et q de la forme obtenue. Une expression où figure encore un terme en x² demande donc une transformation préalable et ne doit pas recevoir directement les formules écrites pour x³ + px + q = 0.

Branches incompatibles. Chaque nombre complexe possède trois racines cubiques. Choisir u et v séparément peut produire uv ≠ −p/3 et donc de fausses combinaisons. Après un premier choix non nul de u, imposez v = −p/(3u), puis vérifiez les deux cubes.

Cas irréductible. Quand p et q sont réels et Δ < 0, les trois racines sont réelles distinctes, bien que √Δ et les racines cubiques intermédiaires soient complexes. Le symptôme n'est pas une absence de solution réelle : conservez les nombres complexes jusqu'aux combinaisons finales.

Racine triple. Les expressions 3q/p et −3q/(2p) du cas Δ = 0 supposent p ≠ 0. Si p = 0 et Δ = 0 avec des coefficients réels, alors q = 0 et l'équation devient x³ = 0 : la seule valeur est 0, de multiplicité trois. Il ne faut pas diviser par p.

Coefficients complexes. Un nombre complexe n'est ni positif ni négatif. Si p ou q est complexe, les mentions Δ > 0 et Δ < 0 sont donc inapplicables ; calculez les trois racines par les combinaisons compatibles de u et v, sans leur attribuer le classement réel.

Ces fous d'équationsqui créèrent les imaginaires — Replacer les calculs complexes des équations cubiques dans l'histoire de l'apparition des nombres imaginaires.