Forme canonique

Prenons le trinôme 2x² − 8x + 3. On peut le réécrire sous la forme 2(x − 2)² − 5 sans changer la fonction. Cette seconde écriture fait apparaître immédiatement le point le plus bas de sa courbe : il est atteint pour x = 2 et vaut −5. Une forme canonique choisit ainsi, parmi plusieurs écritures équivalentes, celle qui rend une structure importante facile à reconnaître.

Une forme canonique est un représentant standard d'une classe d'objets considérés comme équivalents. Il faut donc préciser les objets, la relation d'équivalence et la convention retenue. L'unicité est relative à ce cadre : deux présentations dites canoniques peuvent coexister si elles répondent à des conventions ou à des usages différents.

Pour un polynôme, ranger les termes par degrés décroissants fournit une présentation standard de ses coefficients. Dans le cas d'un trinôme réel, le coefficient du terme de degré deux est noté a et doit être non nul. Les deux autres coefficients sont notés b et c. Sa forme développée et sa forme canonique s'écrivent : $a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha {)}^2+\beta ax^2+bx+c=a(x-\backslash alpha)^2+\backslash beta$, où $\alpha =-b\mathrm{/}(2a)\backslash alpha=-b/(2a)$ et $\beta =c-b^2\mathrm{/}(4a)\backslash beta=c-b^2/(4a)$. Cette écriture révèle le sommet de la parabole, de coordonnées (α ; β), et son axe d'équation x = α.

En algèbre linéaire, une matrice carrée peut être comparée aux matrices qui lui sont semblables. Sur un corps où son polynôme caractéristique se décompose, sa forme de Jordan rassemble l'information en blocs associés aux valeurs propres. Elle est déterminée à l'ordre des blocs près, ce qui rappelle qu'une convention de rangement peut être nécessaire pour obtenir une écriture littéralement unique.

On considère la fonction f définie par f(x) = 2x² − 8x + 3. Les données sont le coefficient 2 du terme carré, le coefficient −8 du terme en x et la constante 3. On cherche une écriture qui fasse apparaître le sommet de sa courbe.

1. On met 2 en facteur dans les deux premiers termes : $f(x)=2(x^2-4x)+3f(x)=2(x^2-4x)+3$.

2. On complète le carré avec l'identité $x^2-4x=(x-2{)}^2-4x^2-4x=(x-2)^2-4$.

3. On remplace puis on réduit : $f(x)=2((x-2{)}^2-4)+3=2(x-2{)}^2-5f(x)=2((x-2)^2-4)+3=2(x-2)^2-5$. La forme canonique est donc 2(x − 2)² − 5. Le sommet est (2 ; −5) et l'axe de symétrie a pour équation x = 2.

4. On contrôle en développant : 2(x − 2)² − 5 = 2x² − 8x + 8 − 5 = 2x² − 8x + 3. Le graphique matérialise le même contrôle : les points d'abscisses 0 et 4 ont tous deux pour ordonnée 3, de part et d'autre de l'axe x = 2.

Pour étudier une fonction quadratique, la forme canonique donne directement le sommet et l'axe de symétrie. On la préfère à la forme développée lorsque l'on cherche un minimum, un maximum ou les variations.

Pour lire les coefficients ou calculer rapidement une valeur par substitution, la forme développée reste souvent plus directe. Si l'objectif est de repérer les zéros, une forme factorisée est préférable lorsqu'elle existe sur l'ensemble de nombres considéré.

Pour comparer des objets algébriques équivalents, une forme canonique concentre les traits qui ne changent pas sous les transformations autorisées. La forme de Jordan sert ainsi à lire la structure d'une matrice à similitude près, lorsque les hypothèses d'existence sont satisfaites.

Forme canonique et forme factorisée d'un trinôme. La forme canonique a le modèle a(x − α)² + β et révèle le sommet. La forme factorisée a le modèle a(x − x₁)(x − x₂) et révèle les racines. Pour 2(x − 2)² − 5, les nombres 2 et −5 décrivent le sommet ; ils ne sont pas les racines.

Forme canonique et simple changement d'écriture. Toute transformation algébrique correcte produit une expression équivalente, mais elle n'est canonique que si elle respecte la règle standard choisie. Ainsi, 2x² − 8x + 3 et 3 − 8x + 2x² définissent la même fonction sans mettre en évidence le sommet.

Le cadre doit être nommé. L'expression « la forme canonique » ne suffit pas toujours : elle dépend des objets, de l'équivalence étudiée et de la convention. Si deux ouvrages donnent des formes différentes, il faut comparer leurs définitions avant de conclure à une contradiction.

Le coefficient quadratique ne peut pas être nul. Dans la formule d'un trinôme, a = 0 rend le quotient −b/(2a) impossible et transforme l'expression en fonction affine ou constante. Il faut alors abandonner cette forme canonique et traiter l'expression selon son degré réel.

La forme de Jordan demande une hypothèse sur les scalaires. Si le polynôme caractéristique de la matrice ne se décompose pas dans le corps choisi, une forme de Jordan dans ce corps peut ne pas exister. On peut étendre le corps ou choisir une autre forme normale adaptée. Même lorsqu'elle existe, l'ordre des blocs n'est pas intrinsèque.

« Canonique » ne signifie pas automatiquement « plus simple à calculer ». La meilleure écriture dépend de la question. Pour le trinôme conducteur, la forme canonique montre le sommet, la forme développée montre les coefficients et une éventuelle forme factorisée montrerait les racines.

Le glossaire Trinôme du second degré replace la forme canonique parmi les écritures et les propriétés de la fonction quadratique.

L'article Les polynômes...vus comme des vecteurs ouvre sur une autre manière de structurer et de comparer les polynômes.