Cuando se aborda la construcción de los principales conjuntos numéricos, se parte por lo general de los enteros y después de los racionales, cocientes de enteros, para advertir luego que una expresión como 2\sqrt{2} no puede escribirse en forma de fracción. A menudo, apenas hecha esta observación, nos apresuramos a señalar que 3,5\sqrt{3}, \sqrt{5} y otros números como 23 \sqrt[3]{2}\, o 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} también son irracionales. Por tanto, ellos también pueden aspirar a un lugar en el mundo de los números, ampliando considerablemente sus fronteras.
Ahora bien, en lugar de lanzarnos de entrada a una exploración tan inmensa, podemos detenernos en lo que sucede cuando se introduce una sola raíz cuadrada. Así se revelan los cuerpos cuadráticos. Estas regiones particulares poseen estructuras propias que prolongan de manera sorprendentemente regular la del conjunto de los números racionales.
Los cuerpos cuadráticos prolongan la estructura del conjunto de los racionales ---------------------------------------------------------------------------
Veamos para empezar el caso de 2\sqrt{2}. Partimos del conjunto ℚ de los números racionales —los que pueden escribirse como un cociente a/b, con a y b enteros—, y le añadimos 2\sqrt{2}, así como todos los números que pueden generarse a partir de 2\sqrt{2} y los racionales mediante las cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. El conjunto numérico así obtenido se denota ℚ(2\sqrt{2}). Esta manera de extender el conjunto de las fracciones a partir de una raíz cuadrada constituye una extensión cuadrática. Por construcción, el conjunto así definido tiene estructura de cuerpo (véase el recuadro).