Los ingredientes básicos de la teoría de Galois

La teoría de Galois, ¿qué es exactamente? ---------------------------------------

Cuando aparece una ecuación polinómica, el primer impulso es interesarse por la existencia de soluciones, lo que permite después factorizarla. Por ejemplo, se puede comprobar que 2 y ‒3 satisfacen *x ² + x ‒ 6 = 0; entonces puede escribirse *x ² + x ‒ 6 = (x ‒ 2)(x + 3). Pero ¿cómo proceder cuando la ecuación no admite ninguna raíz?

La idea consiste en definir un conjunto de números «más grande» de modo que, al añadirle un elemento, este satisfaga la ecuación.

Así, para la ecuación *x ² + 1 = 0 en ℝ, el conjunto de los números reales, construimos ℂ, el conjunto de los números complejos (véase al lado). Pero ¿cómo se añaden números? Aquí interviene la noción de cuerpo, es decir, conjuntos provistos de una suma y una multiplicación que satisfacen las propiedades habituales de la aritmética. Los mejores ejemplos son, por supuesto, ℝ, ℂ o también ℚ, el conjunto de los números racionales (las fracciones). ¡Pero hay muchos otros! Dados un cuerpo y una ecuación polinómica sin solución en él, la teoría de Galois permite construir un cuerpo «más grande», llamado extensión, «lo más pequeño posible», en el que la ecuación tiene una raíz —o, mejor aún, se factoriza por completo—.

El grupo de Galois -------------------