Se conocen dos métodos para demostrar la imposibilidad de resolver la ecuación algebraica general de quinto grado: el que Abel presentó en 1824 y precisó en 1826, y el de Galois en 1829–1830. La teoría de Galois es bastante conocida, mientras que las ideas de Abel se exponen con menos frecuencia.
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Galois leyó durante su adolescencia a Legendre y Lagrange, y después a Gauss y Cauchy. Cita a menudo a estos dos últimos, pero muy poco a Lagrange. Es evidente que Galois estuvo influido por las ideas de su mayor; sin embargo, sabrá ir mucho más lejos, aprovechando todos los avances logrados desde 1771.
Tras sus trabajos sobre la resolución de ecuaciones de cuarto grado, Lagrange se planteó la cuestión para el quinto grado. Hubo que esperar a Abel para saber que estas ecuaciones no son resolubles por radicales. Galois dará una condición necesaria y suficiente para que lo sea una ecuación de grado cualquiera. Con ello, funda la teoría de grupos.
Augustin-Louis Cauchy no se interesó directamente por la resolución de ecuaciones algebraicas, por lo que ha quedado olvidado en la historia de la teoría de grupos. Sin embargo, sus trabajos sobre las permutaciones proporcionaron valiosas herramientas a quienes trabajaron en la teoría de Galois.
Conocemos bien a Cauchy como especialista en análisis, pero mucho menos como algebraista. La contribución de Cauchy a la teoría de grupos fue ignorada durante mucho tiempo, pese a la gran importancia de sus trabajos sobre las estructuras algebraicas.
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