Una cuestión de intersección de curvas --------------------------------------
El decimotercer problema se refiere a la resolución algebraica de ecuaciones y, más concretamente, a la determinación de las raíces mediante técnicas de nomografía, es decir, como intersección de redes de curvas. Esto es posible si las raíces pueden expresarse como composiciones de funciones continuas de, a lo sumo, dos variables.
Tomemos una ecuación cualquiera de grado 2, *ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Sus soluciones, dadas por −b±b2−4ac2a,\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, pueden expresarse de este modo.
En efecto, si definimos f(x,y)=x2y,  g(x,y)=−x+x2−4yf(x, y) = \dfrac{x}{2y}, \; g(x, y) = -x + \sqrt{x^2 -4y} y h (x, y) = xy, una de las dos soluciones puede escribirse como f ( g (b, h ( a, c)), a*); lo mismo ocurre con la otra.
Con ayuda de las fórmulas que dan las soluciones de una ecuación de grado 3 (véase el recuadro «La ecuación de grado 3 a la italiana» en el artículo «Antes de Abel y Galois»), comprobamos que el método también se aplica al grado 3: las soluciones pueden expresarse como composiciones de funciones de, a lo sumo, dos variables elegidas entre los coeficientes de la ecuación. De hecho, como demostró el matemático alemán Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651—1708), este resultado es válido para las ecuaciones de grado menor o igual que 6.