Una questione d’intersezione tra curve --------------------------------------
Il tredicesimo riguarda la risoluzione algebrica delle equazioni e, più precisamente, la determinazione delle radici mediante tecniche di nomografia, cioè come intersezione di reticoli di curve. Ciò è possibile se le radici si possono esprimere come composizioni di funzioni continue di al più due variabili.
Prendiamo una qualunque equazione di secondo grado, *ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Le sue soluzioni, date da −b±b2−4ac2a,\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, si possono esprimere in questo modo.
Infatti, ponendo f(x,y)=x2y,  g(x,y)=−x+x2−4yf(x, y) = \dfrac{x}{2y}, \; g(x, y) = -x + \sqrt{x^2 -4y} e h (x, y) = xy, una delle due soluzioni si esprime come f ( g (b, h ( a, c)), a*) ; lo stesso vale per l’altra.
Con le formule che forniscono le soluzioni di un’equazione di terzo grado (vedi il riquadro «L’equazione di terzo grado all’italiana» nell’articolo «Prima di Abel e Galois»), ci si convince che il metodo si applica anche al terzo grado: le soluzioni si possono esprimere come composizioni di funzioni di al più due variabili, scelte tra i coefficienti dell’equazione. In effetti, come mostrò il matematico tedesco Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651—1708), il risultato vale per le equazioni di grado minore o uguale a 6.