La résolution des équations algébriques
À l’époque où Galois commence à s’intéresser aux mathématiques, les polynômes sont étudiés de longue date et les substitutions et groupes de permutation ont déjà été introduits par Lagrange et étudiés par Cauchy. Ruffini et Abel ont auparavant prouvé qu’il n’est pas possible en général de résoudre de manière algébrique les équations polynomiales de degré 5 ou plus. Dès lors, quel est l’apport de Galois ? Au-delà de résoudre un problème, il a ouvert un nouveau champ des mathématiques en montrant à quel point un groupe pouvait encoder les propriétés fondamentales d’un polynôme.
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Prima di Abel e Galois
Fino alla fine del XVIII secolo, l’algebra si limitò alla risoluzione delle equazioni algebriche. Quel capitolo dell’algebra si chiuse con i lavori di Abel e di Galois. Prima di loro, quali questioni interessavano i matematici? Quali problemi si poteva sperare di risolvere?
Cauchy, un precursore dimenticato
Non essendosi occupato direttamente della risoluzione delle equazioni algebriche, Augustin-Louis Cauchy è una figura dimenticata nella storia della teoria dei gruppi. I suoi lavori sulle permutazioni fornirono tuttavia preziosi strumenti a quanti si occuparono della teoria di Galois.
Due geni e due approcci
Sono noti due metodi per dimostrare l’impossibilità di risolvere l’equazione algebrica generale di quinto grado: quello proposto da Abel nel 1824, precisato nel 1826, e quello di Galois nel 1829–1830. La teoria di Galois è abbastanza nota, mentre le idee di Abel sono illustrate più di rado.
Storie di radici
Le radici dell’unità formano un gruppo commutativo. Un breve ripasso...
Oltre la memoria di Lagrange
Galois lesse Legendre e Lagrange da adolescente, poi Gauss e Cauchy. Cita spesso questi ultimi due, ma molto poco Lagrange. Galois fu chiaramente influenzato dalle idee del matematico più anziano; seppe tuttavia spingersi molto oltre, avvalendosi di tutti i progressi compiuti a partire dal 1771.
Gli ingredienti di base della teoria di Galois
Benché ispirata ai lavori di Galois, la «sua» teoria si sviluppò molto dopo la sua morte e prese slancio solo con l’introduzione delle strutture algebriche.
Il tredicesimo problema di Hilbert
David Hilbert presentò una lista di questioni di ricerca che riteneva importanti al secondo Congresso dei matematici, tenutosi a Parigi nell’estate del 1900. L’elenco comprende ventitré problemi, attinenti a tutti i campi: algebra, geometria e analisi.