Storie di radici

Le radici n ^esime dell’unità ------------------------------------------

Ecco numeri che portano bene il loro nome: dato un intero non nullo n, le *radici n^esime dell’unità sono tutti i numeri complessi la cui potenza n ^esima è uguale a 1. In altre parole, indicandole con z, soddisfano l’equazione *z ⁿ* = 1.

Fissato n, esistono esattamente n radici n^esime dell’unità. Un breve calcolo nell’insieme ℂ dei numeri complessi mostra che si esprimono mediante l’esponenziale complesso: per 0 ≤ k ≤ n‒1, sono i numeri $z_k=e^{\frac{2ik\pi }{n}}=\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{n}\right)\mathrm{.}z\_k\; =\; e^\{\backslash frac\{2ik\backslash pi\}\{n\}\}\; =\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}\; \backslash right)\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}\; \backslash right).$

Per esempio, se n = 2, le due radici sono reali: ritroviamo naturalmente 1 e ‒1.

Per n = 3, si parla di radici cubiche dell’unità: con le notazioni classiche, sono 1, $j=e^{\frac{2i\pi }{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}j\; =e^\{\backslash frac\{2i\backslash pi\}\{3\}\}\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ e $j^2=e^{\frac{4i\pi }{3}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}j^2\; =\; e^\{\backslash frac\{4i\backslash pi\}\{3\}\}\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; -\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ poiché, in effetti, j ² è il quadrato di j.