I numeri reali non bastano in algebra. Per ottenere risultati eleganti e generali, occorre estenderne il campo completandolo con numeri detti immaginari, introdotti da Cardano e Bombelli già nel 16º secolo. Il loro scopo? Risolvere in modo completo e generale equazioni polinomiali a coefficienti reali. L’estensione si ottiene prendendo in considerazione un numero immaginario, «i», definito dalla curiosa proprietà i2 = –1. Il concetto di numero si estende allora alla dimensione 2 costruendo oggetti della forma a + bi (a e b sono reali), detti numeri complessi. Questi numeri si sommano, si moltiplicano (o si dividono) senza difficoltà e l’insieme dei numeri complessi può così essere dotato di una struttura di campo commutativo (per usare un termine tecnico). Già dal 19º secolo, la struttura geometrica di questi numeri fu ampiamente studiata, in particolare da Gauss e Cauchy.
Visualizzare l’addizione e la moltiplicazione
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Il numero complesso z = a + bi può essere rappresentato dal punto del piano di coordinate cartesiane (a, b). Il passaggio alle coordinate polari consente di scrivere lo stesso punto nella forma
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