Los números reales son insuficientes en álgebra. Para obtener resultados estéticos y generales, es necesario ampliar su cuerpo completándolo mediante números llamados imaginarios, introducidos por Cardano y Bombelli ya en el 16.º siglo. ¿Su objetivo? Resolver ecuaciones polinómicas de coeficientes reales de manera completa y general. La ampliación se lleva a cabo tomando en consideración un número imaginario, «i», definido por la curiosa propiedad i2 = –1. El concepto de número se amplía entonces a dimensión 2 construyendo objetos de la forma a + bi (a y b son reales), a los que llamamos números complejos. Estos números se suman y se multiplican —o se dividen— sin dificultad, y el conjunto de los números complejos puede constituirse así en un cuerpo conmutativo (por emplear un término técnico). Desde el 19.º siglo, la estructura geométrica de estos números ha sido ampliamente estudiada, especialmente por Gauss y Cauchy.
Visualizar la suma y la multiplicación ------------------------------------------
El número complejo z = a + bi puede representarse mediante el punto del plano de coordenadas cartesianas (a, b). El paso a las coordenadas polares permite escribir ese mismo punto en la forma
(rcos⁡θ,rsin⁡θ)(r \cos\theta, r \sin\theta),