Newton o la fábrica de sucesiones eficientes --------------------------------------------
Newton propuso su algoritmo hacia 1669 en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas y lo publicó en 1671. Las hipótesis para aplicar el método son bastante restrictivas: si f es continua, dos veces derivable y sus derivadas primera y segunda son continuas en torno a la solución f(ξ)=0,f(\xi)=0, y, además, la derivada primera no se anula en ξ\xi, entonces la sucesión definida por
xn+1=xn−f(xn)/f′(xn)x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
converge a ξ\xi.
Como la derivada f '(x) mide la pendiente de la tangente a la gráfica de f en x, la idea básica consiste en sustituir una aproximación de la solución xi por el punto de intersección entre la tangente a la gráfica en *xi* y el eje de abscisas. ¡Esta aproximación siempre está más cerca de la solución! El método de Newton presenta numerosas ventajas: su sencillez, su fácil aplicación, su convergencia ultrarrápida y su estabilidad numérica.
Método de Newton: detalles de los cálculos ---------------------------------------
• El método de Herón se deduce del de Newton:
Definamos f(x)=x2−a.f(x)=x^2-a. Buscamos la solución de f (x) = 0; la solución es, en efecto, a.\sqrt{a}.
Ahora bien, f′(x)=2xf'(x)=2x y
f(x)f′(x)=x2−a2x=x2−a2x.\frac{f(x)}{f'(x)}=\frac{x^2-a}{2x}=\frac{x}{2}-\frac{a}{2x}.
Por tanto, definimos
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)=xn−xn2+a2xn=xn2+a2xn=12(xn−axn).x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n}{2}+\frac{a}{2x_n}=\frac{x_n}{2}+\frac{a}{2x_n}=\frac{1}{2}(x_n-\frac{a}{x_n}).
¡Y listo!
• En el método de Newton se puede prescindir de la división:
Sea f(x)=1/x−af(x)=1/x-a. Se tiene que f′(x)=−1/x2f'(x)=-1/x^2. De ello se deduce que
f(x)f′(x)=1x−a−1x2=−x2(1x−a)=−x2+ax2.\frac{f(x)}{f'(x)}=\frac{\frac{1}{x}-a }{-\frac{1}{x^2}}=-x^2(\frac{1}{x}-a)=-x^2+ax^2.
Así pues, se llega a definir
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)=xn+xn−axn2=2xn−axn2.x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n+x_n-ax^2_n=2x_n-ax^2_n.
¡La división ha desaparecido!
El cálculo manual de raíces -------------------------------
Desde la llegada de las calculadoras, las raíces cuadradas se calculan instantáneamente. Antes se utilizaba un procedimiento parecido a una división, que antiguamente todavía se aprendía en la escuela.
Se empieza agrupando las cifras del radicando (el número cuya raíz cuadrada se busca) de dos en dos, empezando por la derecha. En nuestro ejemplo, se trata de hallar la raíz de 163. El grupo de la izquierda es 1 y el siguiente, 63. Buscamos el mayor número entero cuyo cuadrado sea menor o igual que el grupo de la izquierda. Es 1, pues 1² = 1 es, en efecto, menor o igual que 1, y 22 = 4 > 1. Por tanto, a = 1; lo escribimos a la derecha de la barra vertical. Restemos *a2* a nuestro grupo: obtenemos 1 – 1 = 0. Bajamos el siguiente grupo de dos cifras.
Buscamos ahora el mayor número entero b tal que [2a]b × b sea menor que 63 (donde el número [2a]b se forma escribiendo b a continuación de 2a).
Obtenemos b = 2. Restemos [2a]b × b (aquí, 44) al resto anterior, 63; obtenemos 19. Escribamos nuestro b (igual a 2) a la derecha del 1. Ya no queda ningún grupo de dos cifras que bajar, así que, para calcular una cifra decimal, bajamos tras 19 un grupo de dos ceros. Igual que para b, busquemos ahora el mayor número entero c tal que [2ab]c × c sea menor que 1 900.
Obtenemos c = 7. Restemos 1 729 a 1 900: queda 171.
Mediante el mismo procedimiento, busquemos la segunda cifra decimal d. Será el mayor número entero tal que [2abc]d × d sea menor que 17 100 (igual al resto 171 al que se ha añadido un grupo de dos ceros). Obtenemos d = 6. Podemos continuar así cuanto sea necesario: las cifras decimales van cayendo una tras otra, gota a gota. Al final, 12,76<163<12,7712,76 <\sqrt{163} < 12,77.
Este proceso manual es largo y exige no cometer errores de cálculo (los números que hay que manejar se vuelven rápidamente gigantescos), ¡pero es extraordinariamente eficaz!