Historias de raíces

Las raíces n ^ésimas de la unidad ------------------------------------------

Estos números hacen honor a su nombre: dado un entero no nulo n, las *raíces n^ésimas de la unidad son todos los números complejos cuya n ^ésima potencia es igual a 1. Dicho de otro modo, si las denotamos por z, satisfacen la ecuación *z ⁿ* = 1.

Fijado n, existen exactamente n raíces n^ésimas de la unidad. Un pequeño cálculo en el conjunto ℂ de los números complejos muestra que se expresan mediante la exponencial compleja: para 0 ≤ k ≤ n‒1, son los números $z_k=e^{\frac{2ik\pi }{n}}=\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{n}\right)\mathrm{.}z\_k\; =\; e^\{\backslash frac\{2ik\backslash pi\}\{n\}\}\; =\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}\; \backslash right)\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}\; \backslash right).$

Por ejemplo, si n = 2, las dos raíces son reales: obtenemos, naturalmente, 1 y ‒1.

Para n = 3, hablamos de raíces cúbicas de la unidad: con las notaciones habituales, son 1, $j=e^{\frac{2i\pi }{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}j\; =e^\{\backslash frac\{2i\backslash pi\}\{3\}\}\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ y $j^2=e^{\frac{4i\pi }{3}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}j^2\; =\; e^\{\backslash frac\{4i\backslash pi\}\{3\}\}\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; -\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$, pues, en efecto, j ² es el cuadrado de j.