La resolución de las ecuaciones algebraicas
En la época en que Galois comienza a interesarse por las matemáticas, los polinomios se estudian desde hace mucho tiempo y las sustituciones y grupos de permutación ya fueron introducidos por Lagrange y estudiados por Cauchy. Ruffini y Abel habían demostrado previamente que no es posible en general resolver de manera algebraica las ecuaciones polinómicas de grado 5 o superior. Entonces, ¿cuál es la contribución de Galois? Más allá de resolver un problema, abrió un nuevo campo de las matemáticas mostrando hasta qué punto un grupo podía codificar las propiedades fundamentales de un polinomio.
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Antes de Abel y Galois
Hasta finales del siglo XVIII, el álgebra se reducía a resolver ecuaciones algebraicas. Esta etapa del álgebra se cerró con los trabajos de Abel y Galois. Antes de ellos, ¿qué cuestiones les interesaban? ¿Qué problemas podían esperar resolver?
Cauchy, un precursor olvidado
Augustin-Louis Cauchy no se interesó directamente por la resolución de ecuaciones algebraicas, por lo que ha quedado olvidado en la historia de la teoría de grupos. Sin embargo, sus trabajos sobre las permutaciones proporcionaron valiosas herramientas a quienes trabajaron en la teoría de Galois.
Dos genios y dos enfoques
Se conocen dos métodos para demostrar la imposibilidad de resolver la ecuación algebraica general de quinto grado: el que Abel presentó en 1824 y precisó en 1826, y el de Galois en 1829–1830. La teoría de Galois es bastante conocida, mientras que las ideas de Abel se exponen con menos frecuencia.
Historias de raíces
Las raíces de la unidad forman un grupo conmutativo. Unos breves recordatorios...
Más allá de la memoria de Lagrange
Galois leyó durante su adolescencia a Legendre y Lagrange, y después a Gauss y Cauchy. Cita a menudo a estos dos últimos, pero muy poco a Lagrange. Es evidente que Galois estuvo influido por las ideas de su mayor; sin embargo, sabrá ir mucho más lejos, aprovechando todos los avances logrados desde 1771.
Los ingredientes básicos de la teoría de Galois
Aunque se inspira en los trabajos de Galois, «su» teoría se desarrolló mucho después de su muerte y solo cobró impulso con la introducción de las estructuras algebraicas.
El decimotercer problema de Hilbert
David Hilbert presentó, durante el segundo congreso de matemáticos celebrado en París en el verano de 1900, una lista de cuestiones de investigación que consideraba importantes. Esta lista incluye veintitrés problemas de todos los ámbitos: álgebra, geometría y análisis.