Situémonos en el plano habitual de la geometría, el plano euclidiano, y coloquemos en él dos puntos distintos, O e I. Introduzcamos, como es costumbre, un sistema de referencia ortonormal directo. Lo más sencillo es basarlo en nuestros dos puntos: O será el origen e I será el punto de coordenadas (1, 0); con ello queda completamente definido el sistema de referencia. El enigma que nos planteamos es de naturaleza geométrica: con solo regla y compás, ¿podemos alcanzar cualquier punto del plano mediante un número finito de construcciones? La cuestión parece ardua. Pero, gracias a nuestro sistema de referencia, podremos traducir el problema geométrico a otro relativo a las coordenadas de los puntos y, por tanto, a un problema sobre números.
Para no perder el norte
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La construcción del sistema de referencia no plantea ninguna dificultad. A partir de O e I, se traza la recta (OI) y después la perpendicular a (OI) que pasa por O. A continuación se sitúa el punto J tal que OI = OJ. Todos estos pasos pueden realizarse con regla y compás.
Los pasos detallados son los siguientes: trazar la recta (OI); trazar la circunferencia C de centro O y radio OI (esta circunferencia corta a la recta (OI) en I’); trazar la circunferencia de centro I y radio II’, y después la de centro I’ y el mismo radio (se cortan en K); trazar la recta (OK), que es la perpendicular a (OI) que pasa por O (corta a la circunferencia C en un punto J). Tomamos entonces como sistema de referencia ortonormal el definido por el punto O y los vectores y .
