Tome un triángulo isósceles AMS. ¿Quiere dividir el ángulo en tres ángulos iguales? Es fácil: trace la circunferencia (C), de centro A, que pasa por S y M, de radio R = AS = AM. Marque después en una regla dos puntos O y P separados por R, deslice O sobre la recta (AS) y P sobre la circunferencia (C): cuando la regla pasa por M, el ángulo triseca el ángulo .
Observe bien la figura. Encontrará la demostración utilizando únicamente que, en un triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales y que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Esta hermosa construcción fue descubierta por los griegos, grandes aficionados a la trisección; se trata en realidad de la proposición VIII del Libro de los lemas de las Obras completas de Arquímedes. Pero, aunque los instrumentos empleados son la regla y el compás, no es una construcción «con regla y compás», pues los puntos O y P no se construyen mediante trazados sucesivos de circunferencias y rectas.
Hagamos variar ahora el ángulo θ, manteniendo fijos los puntos A y O: el punto M describe entonces una curva determinada, la trisectriz de Maclaurin, que Colin Maclaurin (1698–1746) definió y estudió en 1742. Una vez trazada, esta curva permite dividir cualquier ángulo en tres: ahí están los límites de las construcciones con regla y compás, y esta vez es el álgebra la que acude en ayuda de los instrumentos para descubrir nuevas propiedades.
