Procuratevi un triangolo isoscele AMS. Volete dividere l’angolo in tre angoli uguali? È facile: tracciate la circonferenza (C) di centro A, passante per S e M, di raggio R = AS = AM. Segnate poi su un righello due punti O e P distanti R, fate scorrere O sulla retta (AS) e P sulla circonferenza (C): quando il righello passa per M, l’angolo triseca l’angolo .
Osservate bene la figura. Troverete la dimostrazione usando soltanto il fatto che, in un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono uguali e che la somma degli angoli di un triangolo è 180°.
Questa bella costruzione fu scoperta dai Greci, grandi amanti della trisezione; è infatti la proposizione VIII del Libro dei lemmi nelle Opere complete di Archimede. Ma, sebbene gli strumenti impiegati siano riga e compasso, non si tratta di una costruzione «con riga e compasso», poiché i punti O e P non sono costruiti mediante tracciamenti successivi di circonferenze e rette.
Facciamo ora variare l’angolo θ, mantenendo fissi i punti A e O: il punto M descrive allora una certa curva, la trisettrice di Maclaurin, definita e studiata nel 1742 da Colin Maclaurin (1698–1746). Una volta tracciata, questa curva permette di dividere in tre un angolo qualsiasi: è qui che si incontrano i limiti delle costruzioni con riga e compasso, e questa volta è l’algebra a venire in soccorso degli strumenti per scoprire nuove proprietà.
