Poniamoci nel piano consueto della geometria, il piano euclideo, e scegliamovi due punti distinti, O e I. Introduciamo, come d’uso, un riferimento cartesiano ortonormale diretto. La soluzione più semplice consiste nel basarlo sui nostri due punti: O sarà l’origine e I avrà coordinate (1, 0); il riferimento è così completamente definito. L’enigma che ci poniamo è di natura geometrica: usando soltanto riga e compasso, possiamo raggiungere con un numero finito di costruzioni qualsiasi punto del piano? La domanda sembra ardua. Ma grazie al nostro riferimento potremo tradurre il problema geometrico in un altro, relativo alle coordinate dei punti e dunque ai numeri.
Per non perdere l’orientamento
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La costruzione del riferimento non presenta alcuna difficoltà. A partire da O e I, si traccia la retta (OI), poi la perpendicolare a (OI) passante per O. Si colloca quindi il punto J in modo che OI = OJ. Tutti questi passaggi sono possibili con riga e compasso.
Nel dettaglio, i passaggi sono i seguenti: tracciare la retta (OI); tracciare la circonferenza C di centro O e raggio OI (questa circonferenza interseca la retta (OI) in I’); tracciare la circonferenza di centro I e raggio II’, poi quella di centro I’ e dello stesso raggio (si intersecano in K); tracciare la retta (OK), perpendicolare a (OI) e passante per O (interseca la circonferenza C in un punto J). Prendiamo allora come riferimento cartesiano ortonormale quello definito dal punto O e dai vettori e .
