L’espressione «con riga e compasso» rimanda a strumenti da maneggiare e a figure da comporre. Le costruzioni geometriche sono però strettamente legate a un ordinamento delle conoscenze, ritenuto necessario nell’insegnamento fino agli anni 1980. Questo ordinamento è cambiato nel corso della storia, dando luogo a una grande varietà di costruzioni. Così, nei primi anni del Novecento, nella geometria dei movimenti la squadra soppianta il compasso. Per rendere conto della varietà dei rapporti fra strumenti, figure e conoscenze, confrontiamo le costruzioni della perpendicolare e della parallela a una retta.
L’insegnamento della geometria in Francia si distaccò dagli Elementi di Euclide (vedi In breve «Rendiamo a Euclide») dopo la pubblicazione, nel 1667, di un manuale destinato alle Scuole di Port-Royal, i Nuovi Elementi di geometria di Antoine Arnauld (1612–1694). Le sue concezioni furono riprese negli Elementi di geometria di Bernard Lamy (1640–1715), che conobbero otto ristampe dal 1680 al 1765. Alcune di queste furono impiegate in Francia nell’insegnamento della geometria elementare fino agli anni 1960.
Arnauld rimprovera agli Elementi di Euclide di non seguire «l’ordine naturale», che procede dalle figure semplici a quelle composte, e di servirsi di figure composte per dimostrare proposizioni sulle figure semplici: per esempio, di usare triangoli per costruire una perpendicolare. Il Libro IV inizia con figure semplici: la retta, la circonferenza, poi le rette perpendicolari. Il cerchio è definito dal movimento di una semiretta attorno al suo estremo e il compasso è la «macchina» che permette di descriverlo.
Arnauld: figure semplici e distanza -------------------------------------
Arnauld introduce in geometria la nozione di distanza per dare una «definizione più esatta della perpendicolare»: una retta che passa per il punto medio di [AB] e ha un altro punto C equidistante da A e B è la perpendicolare a [AB]; lo stesso vale per tutti gli altri suoi punti D, E… Questa definizione si fonda dunque su un assioma. Non utilizza gli angoli, introdotti più avanti con la misura degli archi di cerchio, e offre un mezzo «molto facile» per fare a meno dei triangoli.