La expresión «con regla y compás» remite a instrumentos que se manejan y a figuras que se componen. Sin embargo, las construcciones geométricas están estrechamente ligadas a una organización de los conocimientos, considerada necesaria en la enseñanza hasta los años ochenta. Esta organización ha cambiado a lo largo de la historia, lo que ha dado lugar a una gran variedad de construcciones. Así, en la década de 1900, la escuadra desplaza al compás en la geometría de los desplazamientos. Para dar cuenta de la diversidad de relaciones entre instrumentos, figuras y conocimientos, intentemos comparar las construcciones de la perpendicular y de la paralela a una recta.
La enseñanza de la geometría en Francia rompe con los Elementos de Euclides (véase En Bref « Devolvamos a Euclides ») tras la publicación, en 1667, de un manual destinado a las Escuelas de Port-Royal, los Nouveaux Éléments de géométrie de Antoine Arnauld (1612–1694). Sus concepciones se retoman en los Éléments de géométrie de Bernard Lamy (1640–1715), que conocieron ocho reediciones entre 1680 y 1765. Algunas de ellas se utilizaron en Francia en la enseñanza de la geometría elemental hasta los años sesenta.
Arnauld reprocha a los Elementos de Euclides no seguir « el orden natural », que va de las figuras simples a las compuestas, y servirse de figuras compuestas para demostrar proposiciones sobre figuras simples; por ejemplo, utilizar triángulos para construir una perpendicular. El libro IV comienza con figuras simples: la línea recta, la línea circular y, después, las rectas perpendiculares. El círculo se define mediante el movimiento de una semirrecta alrededor de su extremo, y el compás es la «máquina» que permite describirlo.
Arnauld: figuras simples y distancia -------------------------------------
Arnauld introduce en geometría la noción de distancia para ofrecer una « definición más exacta de la perpendicular »: una recta que pasa por el punto medio de [AB] y que tiene otro punto C a igual distancia de A y B es la perpendicular a [AB], y lo mismo sucede con todos sus demás puntos D, E… Esta definición se basa, por tanto, en un axioma. No utiliza los ángulos, introducidos más adelante junto con la medida de los arcos de circunferencia, y proporciona un medio «muy fácil» de prescindir de los triángulos.