¿Qué hacer ante un problema de construcción? El sentido común aconseja empezar esbozando a mano alzada la figura deseada y buscar después, en el dibujo obtenido, determinadas características geométricas de los elementos presentes que proporcionen un protocolo de construcción. La última etapa consistirá en validar el resultado gráfico así construido.
Análisis y síntesis -------------------
Los geómetras han ido codificando este enfoque a lo largo de los siglos, y tiene un nombre: análisis y síntesis. Se aplica a todos los ámbitos de las matemáticas, pero aquí lo consideraremos en el campo de la geometría. Dejemos que el matemático francés François Viète (1540–1603), que en su época supo transformar el álgebra (véase Tangente 194, 2020), evoque su evolución histórica en su obra Isagoge in artem analyticem: «Existe en matemáticas un método para buscar la verdad que se atribuye a Platón haber inventado, que Teón denominó análisis y que definió así: considerar lo que se busca como si estuviera dado, y avanzar de consecuencia en consecuencia hasta reconocer como verdadero lo que se buscaba. Por el contrario, la síntesis se define así: partir de algo dado para llegar, de consecuencia en consecuencia, a encontrar lo que se busca.»
El filósofo alemán Emmanuel Kant (1724–1804) no dice otra cosa cuando habla de método «regresivo» para el análisis y de método «progresivo» para la síntesis.
La resolución de un problema de construcción geométrica se desarrolla, por tanto, en dos fases:
• Primera fase: el análisis. Esto significa que suponemos resuelto el problema —exactamente lo que hemos hecho al trazar el boceto a mano alzada— y observamos la construcción ya realizada, al menos aproximadamente, como si fuera «la» solución. Es lo que el matemático especializado en didáctica Georges Glaeser (1918–2002) llamaba «localizar las nociones esenciales, distinguir lo que ya sabemos de lo que nos gustaría saber». Tratamos de detectar cómo se relacionan con los elementos ya dados los elementos geométricos que debemos construir, y también cómo se relacionan entre sí. En este punto, podemos intentar reducir el problema a la búsqueda de puntos determinantes cuyo conocimiento permitirá completar la figura solicitada. Podremos identificarlos como intersecciones de rectas, circunferencias, curvas…, o reconocerles propiedades que ayuden a completar la figura.
Esta fase de análisis lleva finalmente a determinar las condiciones necesarias para realizar la construcción final.

Triángulo del que solo se conocen las longitudes de las medianas.

Así, si se pide reconstruir un triángulo del que se conocen las longitudes a, b, c de las tres medianas, al suponer resuelto el problema podemos observar, por ejemplo, que, si H es el punto medio del segmento [AG], el triángulo FGH tiene lados iguales a un tercio de los del triángulo ABC que se busca construir. Esta es la particularidad que explotaremos para completar la construcción del triángulo ABC: en efecto, a partir del segmento [AD], de longitud A, y del punto G situado a un tercio de ese segmento desde D, sabemos trazar el triángulo FGH, cuyos lados miden a / 3, b / 3 y c / 3, lo que permitirá colocar correctamente los puntos C y B. Aquí, el punto H ha sido determinante para continuar la construcción.
• Segunda fase: la síntesis. Es, en cierto modo, la «recíproca» de la fase anterior. En un primer momento, a la luz de la información extraída del análisis, realizaremos la construcción requerida justificando sus etapas una tras otra. En un segundo momento, determinaremos los límites o los posibles casos de imposibilidad de esta construcción, lo que podrá abrir una discusión: ¿hay casos en que la construcción no sea posible? ¿pueden existir varias soluciones?
Puesta en práctica ----------------
Si se pide, por ejemplo, construir una circunferencia tangente a una recta dada d y que pase por dos puntos dados A y B, no habrá solución si A y B están a uno y otro lado de la recta d. La síntesis lleva además a discutir el número de soluciones en los demás casos: si A está sobre d y B está fuera, habrá una única solución, la circunferencia cuyo centro es la intersección de la perpendicular a d por A y la mediatriz de [AB]; si la recta (AB) es paralela a d, también habrá una solución única, y el punto de contacto será, como antes, la intersección de d y la mediatriz de [AB]. En todos los demás casos encontraremos dos circunferencias que resuelven el problema, que determinaremos construyendo primero sus puntos de contacto con d.
El método de análisis y síntesis, aunque se aplica a numerosos ámbitos de las matemáticas, está especialmente bien adaptado a los problemas de construcción.
El cuadrado inscrito ----------------
Numerosas construcciones clásicas permiten poner de manifiesto el método de análisis y síntesis. «Inscribir un cuadrado en un triángulo» es una de ellas; consiste en construir, dado un triángulo cualquiera ABC, un cuadrado cuyos dos vértices estén, por ejemplo, sobre el lado [BC], y los otros dos, uno sobre [AB] y el otro sobre [AC].
Analicemos el problema: sabemos construir un «pequeño» cuadrado (en verde) cuyos dos vértices, D y E, están sobre [BC], cuyo tercer vértice, G, está sobre [AB], pero cuyo cuarto vértice, F, no está a priori sobre [AC]. No importa: una homotecia h de centro B lo llevará allí, la que transforma F en un punto H de [AC]. Mediante h, la recta (AB), que pasa por el centro de homotecia, es su propia imagen, y la imagen de la recta (GK) será la recta paralela a (GK) que pasa por H. Estas dos imágenes se cortarán en I, sobre [AB]. ¡Y ya tenemos el lado de nuestro cuadrado!
No hay que olvidar hacer la síntesis: el fruto del análisis nos proporciona, por tanto, a partir del cuadrado intermedio DEFG, el segmento [IH], con H situado en [AC] y siendo la imagen de F mediante la homotecia h de centro B. El punto I es entonces la imagen de G en esa misma homotecia. Construimos además los dos puntos del lado [BC], J, imagen de D, y K, imagen de E, y tenemos la certeza de que el cuadrilátero IJKL, imagen de un cuadrado por homotecia, es también un cuadrado.
Surge ahora una pregunta: ¿es siempre posible una construcción así?
La respuesta es «sí» en el caso de un triángulo ABC acutángulo. Si uno de los ángulos de este triángulo es obtuso, en B por ejemplo, elegiremos una homotecia h de centro C (pues el ángulo C es necesariamente agudo), y los vértices del cuadrado IJKL no estarán sobre los segmentos definidos por los lados, sino sobre las rectas que los prolongan.