Che cosa fare di fronte a un problema di costruzione? Il buon senso suggerisce di cominciare abbozzando a mano libera la figura desiderata, per poi cercare nel disegno ottenuto alcune caratteristiche geometriche degli elementi presenti, che forniranno un protocollo di costruzione. L’ultima fase consisterà nel verificare il risultato grafico così costruito.
Analisi e sintesi -------------------
Nel corso dei secoli, i geometri hanno codificato questo procedimento, che ha un nome: analisi e sintesi. Si applica a tutti gli ambiti della matematica, ma qui lo considereremo nel campo della geometria. Lasciamo al matematico francese François Viète (1540–1603), che a suo tempo seppe trasformare l’algebra (vedi Tangente 194, 2020), il compito di rievocarne l’evoluzione storica nella sua opera Isagoge in artem analyticem: «In matematica esiste un metodo per la ricerca della verità che si ritiene sia stato inventato da Platone, che Teone chiamò analisi e definì così. Considerare ciò che si cerca come se fosse dato e procedere di conseguenza in conseguenza, finché ciò che si cerca non sia riconosciuto come vero. La sintesi, al contrario, si definisce così: partire da una cosa data per giungere, di conseguenza in conseguenza, a trovare ciò che si cerca.»
Il filosofo tedesco Immanuel Kant (1724–1804) non dice altro quando parla di metodo «regressivo» per l’analisi e di metodo «progressivo» per la sintesi.
La risoluzione di un problema di costruzione geometrica si svolge dunque in due fasi:
• Prima fase: l’analisi. Si suppone cioè che il problema sia risolto — esattamente ciò che si è fatto tracciando lo schizzo a mano libera — e si osserva la costruzione già eseguita, almeno approssimativamente, come se fosse «la» soluzione. È ciò che il matematico e specialista di didattica Georges Glaeser (1918–2002) chiamava «individuare le nozioni essenziali, distinguere ciò che già si sa da ciò che si vorrebbe sapere». Si cerca di riconoscere come gli elementi geometrici da costruire siano legati agli elementi già dati, e anche tra loro. Si può allora cercare di ricondurre il problema alla ricerca di punti determinanti, la cui conoscenza permetterà di completare la figura richiesta. Li si potrà identificare come intersezioni di rette, circonferenze, curve…, oppure riconoscere loro proprietà che aiuteranno a completare la figura.
Questa fase di analisi porta infine a determinare le condizioni necessarie per realizzare la costruzione finale.

Triangolo di cui si conoscono soltanto le lunghezze delle mediane.

Così, se è richiesto di ricostruire un triangolo di cui si conoscono le lunghezze a, b, c delle tre mediane, supponendo il problema risolto si può osservare, per esempio, che, se H è il punto medio del segmento [AG], il triangolo FGH ha i lati uguali a un terzo di quelli del triangolo ABC da costruire. Sfrutteremo questa particolarità per completare la costruzione del triangolo ABC: a partire dal segmento [AD], di lunghezza A, e dal punto G situato a un terzo di tale segmento a partire da D, sappiamo infatti costruire il triangolo FGH, i cui lati hanno lunghezze a / 3, b / 3 e c / 3, il che permetterà di collocare correttamente i punti C e B. Qui è il punto H a essere stato determinante per il seguito della costruzione.
• Seconda fase: la sintesi. È, in un certo senso, la «reciproca» della fase precedente. In un primo momento, alla luce delle informazioni ricavate dall’analisi, si esegue la costruzione richiesta, giustificandone le fasi una dopo l’altra. In un secondo momento, se ne determineranno i limiti o le eventuali impossibilità, il che potrà aprire una discussione: esistono casi in cui la costruzione non è possibile? Possono esistere più soluzioni?
Messa in pratica ----------------
Se si chiede, per esempio, di costruire una circonferenza tangente a una retta data d e passante per due punti dati A e B, non vi sarà soluzione se A e B si trovano ai due lati della retta d. La sintesi porta inoltre a discutere il numero di soluzioni negli altri casi: se A appartiene a d e B è esterno, vi sarà una sola soluzione, la circonferenza con centro nell’intersezione tra la perpendicolare a d condotta per A e l’asse del segmento [AB]; se la retta (AB) è parallela a d, vi sarà anche in questo caso un’unica soluzione, e il punto di contatto sarà, come prima, l’intersezione di d e dell’asse del segmento [AB]. In tutti gli altri casi si troveranno due circonferenze-soluzione, determinate costruendo anzitutto i loro punti di contatto con d.
Il metodo dell’analisi e sintesi, pur applicandosi a molti ambiti della matematica, è particolarmente adatto ai problemi di costruzione.
Il quadrato inscritto ---------------------
Numerose costruzioni classiche permettono di mettere in evidenza il metodo dell’analisi e sintesi. «Inscrivere un quadrato in un triangolo» è una di queste: dato un triangolo qualsiasi ABC, si tratta di costruire un quadrato con due vertici, per esempio, sul lato [BC] e gli altri due, uno su [AB] e l’altro su [AC].
Analizziamo il problema: sappiamo costruire un «piccolo» quadrato (in verde) con due vertici, D ed E, su [BC], il terzo, G, su [AB], mentre il quarto, F, non si trova a priori su [AC]. Poco male: un’omotetia h di centro B lo condurrà su [AC], quella che trasforma F in un punto H di [AC]. Mediante h, la retta (AB), che passa per il centro dell’omotetia, coincide con la propria immagine, mentre la retta (GK) avrà per immagine la sua parallela passante per H. Queste due immagini si intersecheranno in I, su [AB]. Ed ecco il lato del nostro quadrato!
Non bisogna dimenticare la sintesi: il frutto dell’analisi ci fornisce dunque, a partire dal quadrato intermedio DEFG, il segmento [IH], con H appartenente a [AC] e ottenuto come immagine di F mediante l’omotetia h di centro B. Il punto I è allora l’immagine di G nella stessa omotetia. Si costruiscono inoltre i due punti sul lato [BC], J, immagine di D, e K, immagine di E, e si è certi che il quadrilatero IJKL, immagine di un quadrato mediante omotetia, è anch’esso un quadrato.
Ora sorge una domanda: una tale costruzione è sempre possibile?
La risposta è «sì» nel caso di un triangolo ABC acutangolo. Se uno degli angoli di questo triangolo è ottuso, in B per esempio, si sceglierà un’omotetia h di centro C, il cui angolo è necessariamente acuto, e il quadrato IJKL avrà i suoi vertici non sui segmenti definiti dai lati, bensì sulle rette che li prolungano.