L’expression « à la règle et au compas » renvoie à des instruments à manipuler et à des figures à agencer. Cependant, les constructions géométriques sont intimement liées à une mise en ordre des savoirs, qui est considérée comme nécessaire dans l’enseignement jusque dans les années 1980. Cette mise en ordre a changé dans l’histoire et il en résulte une grande variété de constructions. Ainsi, dans les années 1900, l’équerre supplante le compas dans la géométrie des déplacements. Pour rendre compte de la diversité des relations entre instruments, figures et savoirs, essayons de comparer les constructions de la perpendiculaire et de la parallèle à une droite.
L’enseignement de la géométrie en France rompt avec les Éléments d’Euclide (voir En Bref « Rendons à Euclide ») suite à la publication en 1667 d’un manuel destiné aux Écoles de Port-Royal, les Nouveaux Éléments de géométrie d’Antoine Arnauld (1612–1694). Ses conceptions sont reprises dans les Éléments de géométrie de Bernard Lamy (1640–1715), qui connaissent huit rééditions de 1680 à 1765. Certaines d’entre elles se retrouvent en France dans l’enseignement de la géométrie élémentaire jusque dans les années 1960.
Arnauld reproche aux Éléments d’Euclide de ne pas suivre « l’ordre naturel » qui va des figures simples aux figures composées, de se servir de figures composées pour démontrer des propositions sur des figures simples, par exemple, d’utiliser des triangles pour la construction d’une perpendiculaire. Le Livre IV commence avec des figures simples, la ligne droite, la ligne circulaire puis les lignes droites perpendiculaires. Le cercle est défini par le mouvement d’une demi-droite autour de son extrémité et le compas est la « machine » pour le décrire.
Arnauld : figures simples et distance -------------------------------------
Arnauld introduit la notion de distance en géométrie pour donner une « définition plus exacte de la perpendiculaire » : une droite, passant par le milieu de [AB], dont un autre point C est à égale distance de A et B, est la perpendiculaire de [AB], et il en est de même pour tous ses autres points D, E… Cette définition repose donc sur un axiome. Elle n’utilise pas les angles, introduits plus loin avec la mesure des arcs de cercles, et elle fournit un moyen « très facile » de se passer des triangles.