La géométrie de la règle et du compas

Deux instruments, la règle non graduée et le compas, se sont imposés dès l'Antiquité. Ils ont matérialisé les premiers axiomes de la géométrie d'Euclide et permis à son cortège de défis de se propager à travers l'espace et le temps. Ils ont suscité une myriade de techniques de construction et d'astuces mathématiques, également exploitées par des artistes dont les tracés ont produit des merveilles. Au-delà de l'alliance de ces deux outils mythiques, des résultats spectaculaires ont été réalisés avec un seul des deux.

Après les formes géométriques de base, des objets plus élaborés ont été soumis à l'action de la règle et du compas. Peut-on obtenir des ellipses ou des paraboles point par point et reconstituer tous leurs points remarquables ? On entre dans l'univers des nombres constructibles...ou pas. Trouver lesquels le sont est tout un art. La puissance des techniques développées a envahi la théorie des nombres et permis de résoudre - par la négative - un problème vieux de plus de deux mille ans : la quadrature du cercle !

Redoublant d'ingéniosité, les artisans des mosaïques ornant les monuments de l'Empire romain, les bâtisseurs du Moyen Âge ou les concepteurs de sangaku, ces étonnantes tablettes japonaises, ont largement utilisé les deux instruments fétiches. Mais c'est aussi le cas (de manière virtuelle) des logiciels de géométrie dynamique d'aujourd'hui, qui répondent toujours aux mêmes besoins : reporter des longueurs et relier des points. Quant à la toute récente théorie mathématique des origamis, elle s'appuie sur... l'absence de règle et de compas, mais les propriétés des droites et des cercles y sont toujours aussi présentes !