Théorie de Galois, qu’est-ce au juste ?
Lorsque se présente une équation polynomiale, le premier réflexe est de s’intéresser à l’existence de solutions, ce qui permet ensuite de la factoriser. Par exemple, on peut vérifier que 2 et ‒3 vérifient x 2 + x ‒ 6 = 0 ; on peut alors écrire x 2 + x ‒ 6 = (x ‒ 2)(x + 3). Mais comment faire lorsque l’équation n’admet aucune racine ?
L’idée est de définir un ensemble de nombres « plus grand » de manière à ce que l’un de ses éléments ajoutés vérifie l’équation.
Ainsi, pour l’équation x 2 + 1 = 0 sur l’ensemble ℝ des nombres réels, on construit l’ensemble ℂ des nombres complexes (voir ci-contre). Mais comment ajoute-t-on des nombres » ? C’est là qu’intervient la notion de corps, c’est-à-dire d’ensembles munis d’une addition et d’une multiplication vérifiant les propriétés usuelles de l’arithmétique. Les meilleurs exemples en sont bien sûr ℝ, ℂ, ou encore ℚ, l’ensemble des nombres rationnels (les fractions). Mais il y en a bien d’autres ! Un corps et une équation polynomiale sans solution dans ce corps étant donnés, la théorie de Galois permet la construction d’un corps « plus grand », appelé extension, « le plus petit possible », dans lequel cette équation possède une racine (ou mieux, se factorise totalement).
