Les racines n èmes de l’unité

Voici des nombres qui portent bien leur nom : n étant un entier non nul donné, les *racines nèmes de l’unité sont tous les nombres complexes dont la puissance n ème est égale à 1. Autrement dit, si on les note z, ils vérifient l’équation z n = 1.
Pour n donné, il existe exactement n racines nèmes de l’unité. Un petit calcul dans l’ensemble ℂ des nombres complexes montre qu’elles s’expriment à l’aide de l’exponentielle complexe : pour 0 ≤ k ≤ n‒1, ce sont les nombres zk=e2ikπn=cos⁡(2kπn)+isin⁡(2kπn).z_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}} = \cos \left( \frac{2k\pi}{n} \right) + i \sin \left( \frac{2k\pi}{n} \right).
Par exemple, si n = 2, les deux racines sont réelles : on retrouve, bien sûr, 1 et ‒1.
Pour n = 3, on parle de racines cubiques de l’unité : avec les notations classiques, ce sont 1, j=e2iπ3=−12+i32j = e^{\frac{2i\pi}{3}} = - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} et j2=e4iπ3=−12−i32j^2 = e^{\frac{4i\pi}{3}} = - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} car, effectivement, j 2 est le carré de j.