AlgèbreNotion · Glossaire
Circulant (déterminant)
Le déterminant circulant est le déterminant d'une matrice circulante, c'est-à-dire une matrice dont chaque ligne est obtenue par décalage circulaire d'une position de la ligne précédente. Il existe une formule explicite pour ce déterminant en termes des racines n-ièmes de l'unité et des coefficients de la première ligne. Plus précisément, le déterminant circulant d'ordre n est le produit des évaluations d'un certain polynôme aux racines n-ièmes de l'unité. Cette formule relie ainsi algèbre linéaire et théorie des polynômes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la structure d’une matrice circulante.
- Former le polynôme associé à sa première ligne.
- Calculer le déterminant par les racines de l’unité.
- Repérer le cas où le déterminant s’annule.
En clair
Écrivez une première ligne de nombres, puis formez chaque ligne suivante en faisant passer le dernier nombre au début. La matrice ainsi obtenue est circulante : les mêmes nombres y tournent en boucle.
Son déterminant peut être calculé sans développer toutes les permutations habituelles. On transforme la première ligne en un polynôme, puis on évalue ce polynôme sur des points régulièrement répartis du cercle unité. Le produit de ces valeurs donne le déterminant circulant.
Définition
Soit un entier n supérieur ou égal à 1 et soient a0, a1, …, an−1 les coefficients de la première ligne. Avec la convention du décalage vers la droite, chaque nouvelle ligne commence par le dernier coefficient de la ligne précédente. Le déterminant de cette matrice carrée est appelé déterminant circulant d’ordre n.
On associe à la première ligne le polynôme p défini par . On note ω une racine primitive n-ième de l’unité, par exemple dans les nombres complexes. Toutes les racines n-ièmes de l’unité sont alors 1, ω, …, ωn−1.
La formule explicite est
Ces évaluations sont les valeurs propres de la matrice, à l’ordre ou à la conjugaison près selon la convention de décalage. Leur produit est donc le déterminant. Pour des coefficients réels, les facteurs complexes non réels se regroupent par paires conjuguées et le résultat reste réel.
Un exemple, pas à pas
Prenons une matrice circulante d’ordre 3. Les données sont : la première ligne (1, 2, 3), un décalage vers la droite et une racine cubique primitive de l’unité notée ω. Elle vérifie ω3 = 1 et 1 + ω + ω2 = 0.
1. Construisons la matrice et son polynôme associé :
2. À la première racine, p(1) = 1 + 2 + 3 = 6.
3. Les deux autres évaluations sont conjuguées. En utilisant ω2 = −1 − ω, on obtient et . Leur produit vaut 3.
4. Le déterminant vaut donc .
Un contrôle direct par développement de la première ligne donne −5 + 2 + 21 = 18. Les deux méthodes aboutissent exactement au même entier.
En pratique
Pour calculer le déterminant d’une grande matrice circulante, on lit seulement sa première ligne et on évalue le polynôme associé aux racines de l’unité. Un développement par permutations reste possible, mais il masque la structure répétitive et devient vite lourd.
Pour décider si la matrice est inversible, on cherche si l’une de ces évaluations est nulle. Si p(ωk) = 0 pour un indice k, le déterminant est nul ; sinon, la matrice est inversible.
Pour obtenir aussi toutes les valeurs propres, la transformée de Fourier discrète de la première ligne est l’outil naturel. Si seul un petit déterminant numérique est demandé, le calcul direct peut toutefois être plus court.
À ne pas confondre
Matrice circulante et déterminant circulant. La première est un tableau carré dont les lignes se décalent ; le second est le nombre obtenu en prenant son déterminant. Dans l’exemple d’ordre 3, C est la matrice et 18 est son déterminant circulant.
Déterminant d’une matrice quelconque. Toute matrice carrée possède un déterminant, mais la formule par les racines de l’unité exige la structure circulante. La matrice dont les lignes sont (1, 2), puis (3, 4), n’est pas circulante : on emploie la formule générale.
Limites et pièges
Ordre 1. Le cas charnière n = 1 est bien circulant : la matrice ne contient que a0, le polynôme est constant et le produit comporte un seul facteur. Le déterminant vaut a0.
Facteur nul. Si le polynôme associé s’annule sur une racine n-ième de l’unité, le produit entier s’annule. Il faut alors conclure que la matrice est singulière, et non écarter ce facteur comme un accident du calcul.
Sens du décalage. Certains auteurs décalent les lignes vers la gauche. Cette convention permute ou conjugue les évaluations utilisées, selon les coefficients, mais ne change pas leur produit si la première ligne et le polynôme restent appariés de façon cohérente.
Calcul complexe, résultat réel. Pour une matrice réelle, des évaluations intermédiaires peuvent être complexes. Elles arrivent par paires conjuguées ; les supprimer ou ne garder que leur partie réelle donnerait généralement un déterminant faux.
Pour aller plus loin
La fiche Circulante (matrice) détaille la structure de la matrice dont le déterminant est calculé ici.
La notion de valeur propre explique pourquoi le produit des évaluations du polynôme redonne le déterminant.
La Transformée de Fourier fournit le cadre qui diagonalise les matrices circulantes et organise simultanément leurs valeurs propres.
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