AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Circulante (matrice)
Une matrice circulante est une matrice carrée dans laquelle chaque ligne est obtenue par décalage circulaire d'une position vers la droite par rapport à la ligne précédente. Elle est entièrement déterminée par sa première ligne. Les matrices circulantes sont diagonalisables dans la base de Fourier discrète, ce qui les rend très utiles pour le calcul numérique et le traitement du signal. Leurs valeurs propres sont les évaluations d'un polynôme associé aux racines n-ièmes de l'unité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconstruire une matrice circulante à partir de sa première ligne.
- Former le polynôme associé et obtenir ses valeurs propres par les racines de l'unité.
- Vérifier la méthode sur une matrice d'ordre 3.
- Distinguer une matrice circulante d'une matrice de Toeplitz et repérer les conventions opposées.
En clair
Écrivez 1, 2, 3 sur une première ligne. Pour former la suivante, faites passer le dernier nombre devant les deux autres : vous obtenez 3, 1, 2. Recommencez, et la troisième ligne devient 2, 3, 1. La matrice carrée ainsi construite est circulante.
Chaque ligne contient donc les mêmes valeurs dans un ordre cyclique. Une seule ligne suffit pour reconstruire tout le tableau, tandis que la base de Fourier discrète révèle directement ses directions propres.
Définition
Une matrice circulante d'ordre n est une matrice carrée déterminée par n coefficients, notés c0, c1, …, cn−1. Sa première ligne porte ces coefficients dans cet ordre. Chaque ligne suivante résulte d'un décalage circulaire d'une place vers la droite : le dernier coefficient revient en première position.
Avec cette convention, sa forme générale est :
La première ligne définit l'objet ; le choix d'un décalage vers la droite fixe seulement la convention d'écriture.
Associons aux coefficients le polynôme . Sur les nombres complexes, les vecteurs de la base de Fourier discrète sont des vecteurs propres de C. Si ω parcourt les n racines n-ièmes de l'unité, les valeurs propres sont exactement p(ω). La diagonalisation ne dépend donc pas d'un calcul de déterminant propre à chaque matrice.
De quoi c'est fait
Quatre éléments organisent une matrice circulante : l'ordre n fixe le nombre de lignes et de colonnes ; la première ligne fournit les n coefficients ; le décalage circulaire construit les autres lignes ; le polynôme associé reprend les mêmes coefficients pour calculer les valeurs propres. Le sens du décalage et l'ordre des puissances doivent rester cohérents.
Dans l'exemple d'ordre 3, les lignes (1, 2, 3), (3, 1, 2) et (2, 3, 1) rendent le mécanisme visible. Le schéma suit le passage du dernier terme en tête à chaque nouvelle ligne. Ces données suffisent à reconstruire la matrice et à former le polynôme p(z) = 1 + 2z + 3z2.
Un exemple, pas à pas
Prenons la matrice circulante d'ordre 3 dont la première ligne est (1, 2, 3). Nous voulons la construire, puis retrouver ses valeurs propres à partir des racines cubiques de l'unité.
Données :
ordre : n = 3 ;
coefficients : c0 = 1, c1 = 2 et c2 = 3 ;
polynôme associé : p(z) = 1 + 2z + 3z2 ;
racine cubique choisie : .
ordre : n = 3 ;
coefficients : c0 = 1, c1 = 2 et c2 = 3 ;
polynôme associé : p(z) = 1 + 2z + 3z2 ;
racine cubique choisie : .
1. Décaler la première ligne vers la droite donne (3, 1, 2), puis un second décalage donne (2, 3, 1).
3. Évaluer p en ω, puis en son conjugué ω2, donne les deux autres valeurs propres.
2. Évaluer p en 1 donne la première valeur propre : p(1) = 6.
3. Évaluer p en ω, puis en son conjugué ω2, donne les deux autres valeurs propres.
Les trois valeurs propres sont donc 6, (−3 − i√3)/2 et (−3 + i√3)/2. Un contrôle indépendant consiste à les multiplier : leur produit vaut 18, comme le déterminant de C obtenu par développement.
En pratique
En traitement du signal, une interaction cyclique entre des échantillons se traduit par une matrice circulante. Le calcul passe alors dans la base de Fourier discrète, où chaque composante est simplement multipliée par une valeur propre. Si les bords ne sont pas périodiques, une autre structure de matrice convient mieux.
En calcul numérique, on stocke seulement la première ligne au lieu des n2 coefficients du tableau complet. Ce choix est pertinent lorsque toutes les lignes observées sont bien des décalages circulaires de la précédente ; sinon, cette compression détruirait de l'information.
Pour tester l'inversibilité, il suffit d'évaluer le polynôme associé aux racines n-ièmes de l'unité. La matrice est inversible si aucune de ces évaluations n'est nulle ; une valeur nulle signale au contraire une direction annulée.
À ne pas confondre
Matrice de Toeplitz. Ses coefficients sont constants sur chaque diagonale, mais ses lignes ne sont pas nécessairement des décalages circulaires. La matrice de lignes (1, 2, 3), (4, 1, 2) et (5, 4, 1) est de Toeplitz, pas circulante.
Transformée de Fourier. La base de Fourier discrète sert à diagonaliser toute matrice circulante, mais elle n'est pas elle-même une matrice circulante en général. Le critère décisif reste le décalage cyclique des lignes.
Limites et pièges
Convention opposée. Certains auteurs décalent les lignes vers la gauche. Le symptôme est une matrice transposée par rapport à la convention retenue ici. Il faut vérifier le sens du décalage avant d'associer le polynôme aux racines de l'unité.
Valeurs propres complexes. Une matrice circulante à coefficients réels peut avoir des valeurs propres non réelles, comme l'exemple d'ordre 3. La diagonalisation annoncée s'effectue alors sur les nombres complexes ; les valeurs non réelles arrivent par paires conjuguées.
Valeur propre nulle. Si le polynôme associé s'annule sur une racine n-ième de l'unité, la matrice reste circulante et diagonalisable, mais elle n'est pas inversible. Il ne faut donc pas déduire l'inversibilité de la seule diagonalisation.
Ordre 1. Une matrice réduite à un coefficient satisfait la définition : son unique ligne est inchangée par décalage. Ce cas charnière est circulant, même si aucun mouvement n'est visible.
Pour aller plus loin
Transformée de Fourier. Pour situer la base dans laquelle les matrices circulantes deviennent diagonales.
valeur propre. Pour approfondir le lien entre direction propre, facteur multiplicatif et diagonalisation.
Racine n-ième de l'unité. Pour comprendre les points où le polynôme associé doit être évalué.
convolution. Pour relier la structure circulante aux opérations cycliques utilisées sur des signaux discrets.
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