« *Si ce n’est qu’au XIXe siècle qu’on délimita la classe de constructions qu’on peut effectuer avec la règle seule, on peut cependant dire que la géométrie de la règle remonte fort loin. Très anciennement, des artisans, comme les charpentiers, les tailleurs de pierre, se transmettaient des “traits de métiers”, dans lesquels la règle était le seul ou le principal instrument utilisé, et cela à cause de la nature même des corps sur lesquels étaient effectués les tracés. Ces artisans n’étaient pas préparés à reconnaître dans leurs tracés des propositions géométriques traduites en actes, peut-on dire*. »
C’est ainsi que le mathématicien français Henri Lebesgue (1875–1941) introduit le chapitre III de ses Leçons sur les constructions géométriques, professées au Collège de France en 1940–1941 (Gauthier-Villars, 1950). Il n’est donc pas si étonnant de poser la question de savoir si « toutes » les constructions géométriques, du moins celles que traditionnellement on nomme « à la règle et au compas », sont exécutables à la règle seule.
Géométrie projective et perspective des peintres ------------------------------------------------
En 1833 paraît un petit opuscule du mathématicien suisse Jacob Steiner (1796–1863) dont le titre, en allemand, pourrait être traduit par Constructions géométriques à la règle, étant donné un cercle fixe et son centre. Quelques mathématiciens, remarque-t-il, ont attiré l’attention sur les nombreux problèmes qui ne requièrent l’usage que de la règle. C’est le cas, par exemple, de François-Joseph Servois (1767–1847), avec Solutions peu connues de différens problèmes de Géométrie pratique, pour servir de supplément aux traités connus de cette science, en 1804, ou encore de Jean-Victor Poncelet (1788–1867), avec son Traité des propriétés projectives des figures, en 1822. Steiner aurait aussi pu citer Jean-Henri Lambert (1728–1777), dans la réédition de 1774 de Perspective affranchie de l’embarras du plan géométral, et à vrai dire d’autres encore. Tous ces écrits reposent sur la géométrie projective, qui tire ses racines plus lointaines d’une mise en œuvre mathématique de la perspective des peintres (voir notre dossier « La géométrie projective », Tangente 162, 2015).
Cette géométrie de la règle est donc une sorte d’alliance entre des exigences pratiques et la géométrie très novatrice du XIXe siècle, dont les fondateurs sont entre autres Jean-Victor Poncelet et Jacob Steiner.